Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2023 · Julio

Enunciado

Calcular:

a) (1 punto)

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2}

b) (1 punto)

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x)\cos^3(x)\, dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2} = \frac{1}{4}}

\boxed{\text{b)}\ \int_0^{\pi/2} \operatorname{sen} x\cos^3 x\, dx = \frac{1}{4}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) al sustituir sale

\frac{0}{0}

: aplicamos la regla de L'Hôpital (o, equivalentemente, el límite notable

\frac{\operatorname{sen} u}{u} \to 1

con

u = x^2

).

En b) el integrando es de la forma

-\,(\cos x)^3 \cdot (\cos x)'

, una integral casi inmediata de tipo potencia (o el cambio

t = \cos x

). Después, regla de Barrow.

Desarrollo

a) Sustituyendo

x = 0

\frac{\operatorname{sen} 0}{0} = \frac{0}{0}

, indeterminación. Numerador y denominador son derivables cerca de

0

, así que aplicamos L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^3 + 4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{3x^2 + 8x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

, pero basta con simplificar el factor

x

(con

x \neq 0

\lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{x(3x + 8)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x^2)}{3x + 8} = \frac{2\cdot 1}{8} = \frac{1}{4}

Comprobación con el límite notable:

\dfrac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^2(x + 4)} = \dfrac{\operatorname{sen}(x^2)}{x^2}\cdot\dfrac{1}{x + 4} \to 1\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}

✓.

b) Como

(\cos x)' = -\operatorname{sen} x

, el integrando es

-(\cos x)^3\,(\cos x)'

, y una primitiva es

\int \operatorname{sen} x\cos^3 x\, dx = -\frac{\cos^4 x}{4} + C

(con el cambio

t = \cos x

dt = -\operatorname{sen} x\, dx

\int -t^3\, dt = -\frac{t^4}{4}

.)

Por la regla de Barrow:

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen} x\cos^3 x\, dx = \left[-\frac{\cos^4 x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{0^4}{4} - \left(-\frac{1^4}{4}\right) = \frac{1}{4}

Comprobación:

\left(-\dfrac{\cos^4 x}{4}\right)' = -\dfrac{4\cos^3 x\cdot(-\operatorname{sen} x)}{4} = \operatorname{sen} x\cos^3 x

✓. Además el integrando es positivo en

\left(0, \frac{\pi}{2}\right)

, así que el resultado positivo es coherente.

Consejo

Al aplicar L'Hôpital, di que hay indeterminación $\frac{0}{0}$ antes de derivar, y deriva numerador y denominador por separado (no el cociente). Si tras derivar vuelve a salir $\frac{0}{0}$ , a veces basta con simplificar en lugar de derivar otra vez.

En b), cuidado con el signo: la derivada de $\cos x$ es $-\operatorname{sen} x$ , y de ahí el menos de la primitiva.