Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Castilla y León · 2023 · Julio

Enunciado

Dada la función

f(x) = x^2(x + 3)

, determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.

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Resultado

\boxed{\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R};\quad \text{cortes: } (0, 0),\ (-3, 0)}

\boxed{\text{Crece en } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty);\ \text{decrece en } (-2, 0)}

\boxed{\text{Máximo relativo } (-2, 4);\quad \text{mínimo relativo } (0, 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un polinomio: dominio

\mathbb{R}

, y los cortes con el eje

OX

se leen de la factorización que ya trae. Para la monotonía derivamos, factorizamos

f'

y estudiamos su signo en los intervalos que delimitan sus raíces; donde

f'

cambia de signo hay un extremo relativo.

Desarrollo

Dominio.

f(x) = x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2

es un polinomio, así que

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}

Cortes con los ejes.

Eje $OY$ ( $x = 0$ ): $f(0) = 0$ , punto $(0, 0)$ .
Eje $OX$ ( $f(x) = 0$ ): $x^2(x + 3) = 0 \iff x = 0$ (raíz doble) o $x = -3$ . Puntos $(0, 0)$ y $(-3, 0)$ .

Monotonía. Derivamos:

f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2), \qquad f'(x) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = -2

Signo de

f'

en cada intervalo (probando un valor):

	$(-\infty, -2)$	$(-2, 0)$	$(0, +\infty)$
valor de prueba	$x = -3$	$x = -1$	$x = 1$
$f'(x)$	$9 > 0$	$-3 < 0$	$9 > 0$
$f$	crece	decrece	crece

Así,

f

es creciente en

(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)

y decreciente en

(-2, 0)

.

Extremos relativos. En

x = -2

la derivada pasa de positiva a negativa: máximo relativo, con

f(-2) = 4\cdot 1 = 4

. En

x = 0

pasa de negativa a positiva: mínimo relativo, con

f(0) = 0

.

Comprobación con la derivada segunda,

f''(x) = 6x + 6

f''(-2) = -6 < 0

(máximo) ✓ y

f''(0) = 6 > 0

(mínimo) ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los extremos relativos se dan como puntos, con sus dos coordenadas: «máximo en $x = -2$ » deja la respuesta a medias; calcula también $f(-2) = 4$ .

No olvides el corte con el eje $OY$ aunque coincida con uno del eje $OX$ : dilo explícitamente.