Límites y continuidad

a) El valor y los límites laterales en $x = 1$:$$f(1) = \ln 1 = 0, \qquad \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{2 - x} = \frac{1}{1} = 1, \qquad \lim_{x \to 1^+} \ln x = \ln 1 = 0$$Los límites laterales existen y son finitos pero distintos ($1 \neq 0$): $f$ no es continua en $x = 1$; tiene una discontinuidad de salto finito (de salto 1).

Como toda función derivable en un punto es continua en él, $f$ no es derivable en $x = 1$.

(Si se derivara a trozos, saldría $f'(1^-) = \frac{1}{(2-1)^2} = 1$ y $f'(1^+) = \frac{1}{1} = 1$: coinciden, pero eso no basta, porque la función no es continua.)

b) Asíntotas verticales. El dominio es todo $\mathbb{R}$: para $x < 1$ el denominador $2 - x > 1$ nunca se anula, y para $x \geq 1$ el logaritmo está definido. Cada trozo es continuo en su intervalo, y en $x = 1$ los límites laterales son finitos ($1$ y $0$). Así que no hay ningún punto donde la función tienda a $\pm\infty$: no tiene asíntotas verticales. (La recta $x = 2$, que anula el denominador del primer trozo, no cuenta: ese trozo solo se usa para $x < 1$.)

Asíntotas horizontales.$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 - x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \ \text{es asíntota horizontal por la izquierda}$$Además, para $x < 1$ es $\frac{1}{2 - x} > 0$, así que la gráfica se acerca a $y = 0$ por encima.$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \quad\Longrightarrow\quad \text{no hay asíntota horizontal por la derecha}$$