Rectas y planos

a) Vectores:$$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (-1,\ 1,\ 2), \qquad \overrightarrow{AP} = (0 - 1,\ 0 - 0,\ 1 + 1) = (-1,\ 0,\ 2)$$No son proporcionales, así que $P \notin r$ y el plano queda bien determinado. Su normal:$$\vec{n} = \vec{u} \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (-2 + 2)\,\vec{j} + (0 + 1)\,\vec{k} = (2,\ 0,\ 1)$$Plano con normal $(2, 0, 1)$ que pasa por $P(0, 0, 1)$:$$2(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x + z - 1 = 0$$Comprobación: $A$: $2 - 1 - 1 = 0$ ✓; $B$: $0 + 1 - 1 = 0$ ✓; $P$: $0 + 1 - 1 = 0$ ✓.

b) Con el punto $A$ de la recta y su director $\vec{u}$:$$d(P, r) = \frac{\left|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}\right|}{|\vec{u}|}$$El producto vectorial es el de a) cambiado de signo, así que tiene el mismo módulo:$$\left|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}\right| = |(2, 0, 1)| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$$$d(P, r) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0{,}9129 \ \text{u}$$Comprobación por la proyección: el pie de la perpendicular es $Q = A + \lambda\vec{u}$ con $\overrightarrow{QP}\cdot\vec{u} = 0$. Como $\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u} = 1 + 0 + 4 = 5$, sale $\lambda = 5/6$, $Q = \left(\tfrac{1}{6}, \tfrac{5}{6}, \tfrac{2}{3}\right)$ y $\overrightarrow{QP} = \left(-\tfrac{1}{6}, -\tfrac{5}{6}, \tfrac{1}{3}\right)$, de módulo $\sqrt{\tfrac{1 + 25 + 4}{36}} = \tfrac{\sqrt{30}}{6}$ ✓.