Rectas y planos

De las ecuaciones:$$r_1:\ P_1 = (1, 0, -1),\ \vec{u}_1 = (1, 2, 1); \qquad r_2:\ P_2 = (1, 0, 0),\ \vec{u}_2 = (3, 2, 2)$$a) Un plano $\pi$ perpendicular a $r_2$ tiene vector normal $\vec{n} = \vec{u}_2 = (3, 2, 2)$. Si $\pi$ contuviera a $r_1$, el director $\vec{u}_1$ estaría en el plano y sería perpendicular a $\vec{n}$, es decir, $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$. Pero$$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 = 9 \neq 0$$Por tanto no existe ningún plano perpendicular a $r_2$ que contenga a $r_1$. (Solo existiría si $r_1$ y $r_2$ fueran perpendiculares.)

b) Un vector perpendicular a $\vec{u}_1$ y a $\vec{u}_2$ es su producto vectorial:$$\vec{v} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 2)\,\vec{i} - (2 - 3)\,\vec{j} + (2 - 6)\,\vec{k} = (2,\ 1,\ -4)$$Comprobación: $\vec{v}\cdot\vec{u}_1 = 2 + 2 - 4 = 0$ ✓ y $\vec{v}\cdot\vec{u}_2 = 6 + 2 - 8 = 0$ ✓.

La recta pedida pasa por $(1, 0, 0)$ con director $(2, 1, -4)$:$$s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -4\lambda \end{array}\right., \ \lambda \in \mathbb{R} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-4}$$(Como $(1, 0, 0)$ es justo el punto $P_2$ de $r_2$, esta recta corta a $r_2$ perpendicularmente en ese punto.)