Matemáticas IIFácil2 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla y León · 2023 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Obtener todas las soluciones del sistema

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \end{array}\right.

b) (1 punto) Determinar todos los

a, b \in \mathbb{R}

para que

x = 5

y = -2

z = -2

sea solución del sistema

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ ax + 2ay + bz = b \end{array}\right.

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ (x, y, z) = (-1 - 3\lambda,\ 2 + 2\lambda,\ \lambda),\ \lambda \in \mathbb{R}}

\boxed{\text{b)}\ a = 3b,\ b \in \mathbb{R};\quad \text{solución única si } b \neq 0\ (a = 3b \neq 0)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay dos ecuaciones y tres incógnitas: si las dos ecuaciones son independientes, el sistema es compatible indeterminado con un parámetro. Restamos las ecuaciones para eliminar

x

, despejamos en función de

z = \lambda

y escribimos la solución paramétrica.

En b) las dos primeras ecuaciones ya las cumple

(5, -2, -2)

, así que solo hay que imponer la tercera, que da una relación entre

a

b

. Para la unicidad usamos Rouché-Frobenius: solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula.

Desarrollo

a) La matriz de coeficientes tiene el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

, así que su rango es 2, igual que el de la ampliada (no puede ser mayor que el número de filas). Como

2 < 3

incógnitas, el sistema es compatible indeterminado con

3 - 2 = 1

parámetro.

Restamos la primera ecuación a la segunda:

(x + 2y - z) - (x + y + z) = 3 - 1 \;\Longrightarrow\; y - 2z = 2 \;\Longrightarrow\; y = 2 + 2z

Llevándolo a la primera ecuación:

x = 1 - y - z = 1 - (2 + 2z) - z = -1 - 3z

Con

z = \lambda

(x, y, z) = (-1 - 3\lambda,\ 2 + 2\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación:

(-1 - 3\lambda) + (2 + 2\lambda) + \lambda = 1

✓ y

(-1 - 3\lambda) + 2(2 + 2\lambda) - \lambda = 3

✓.

b) Sustituimos

x = 5

y = -2

z = -2

. Las dos primeras ecuaciones se cumplen siempre:

5 - 2 - 2 = 1 \ ✓, \qquad 5 - 4 + 2 = 3 \ ✓

(de hecho, es la solución de a) con

\lambda = -2

). La tercera impone

5a + 2a\cdot(-2) + b\cdot(-2) = b \;\Longrightarrow\; a - 2b = b \;\Longrightarrow\; a = 3b

Así que

(5, -2, -2)

es solución exactamente cuando

a = 3b

, con

b \in \mathbb{R}

cualquiera.

Unicidad. El determinante de la matriz de coeficientes es

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ a & 2a & b \end{vmatrix} = 1\cdot(2b + 2a) - 1\cdot(b + a) + 1\cdot(2a - 2a) = a + b

Con

a = 3b

queda

|A| = 4b

Si $b \neq 0$ (y $a = 3b$ ): $|A| \neq 0$ , luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$ y el sistema es compatible determinado: la única solución es $(5, -2, -2)$ .
Si $b = 0$ (y entonces $a = 0$ ): la tercera ecuación es $0 = 0$ , el sistema se reduce al de a) y tiene infinitas soluciones ( $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$ ).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no hace falta discutir el sistema entero en función de $a$ y $b$ : primero impón que $(5, -2, -2)$ sea solución (eso ya da $a = 3b$ ) y solo después mira el determinante con esa relación.

Ojo con el caso $b = 0$ : también cumple $a = 3b$ , pero entonces la tercera ecuación desaparece y hay infinitas soluciones. Decir «única para todo $b$ » cuesta medio punto.