Matrices

a) Un menor de orden $2$ no nulo:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) \ge 2.$$Mirando las filas $F_1 = (1, 1, 1, 1)$, $F_2 = (0, 1, 2, 1)$ y $F_3 = (2, 1, 0, 1)$:$$2F_1 - F_2 = (2, 2, 2, 2) - (0, 1, 2, 1) = (2, 1, 0, 1) = F_3.$$La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras, así que todos los menores de orden $3$ se anulan. Lo comprobamos con los cuatro que hay (orlando el menor anterior):$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 4 + 0 - 2 - 2 - 0 = 0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \ \ (C_2 = C_3),$$$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 2 + 0 - 4 - 0 - 0 = 0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \ \ (C_1 = C_3).$$Por tanto$$\operatorname{rg}(A) = 2.$$b) El sistema de los tres planos es$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ y + 2z = 1 \\ 2x + y = 1 \end{array}\right. \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A.$$Por a), $\operatorname{rg}(M^*) = \operatorname{rg}(A) = 2$. Además $|M| = 0$ (es el primer menor calculado en a)) y $M$ contiene el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(M) = 2$.

Como $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 2 < 3$, el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos tienen en común una recta. Pero $\pi_1$ y $\pi_2$ ya se cortan en $r$ (sus normales $(1, 1, 1)$ y $(0, 1, 2)$ no son proporcionales), así que esa recta común es $r$: la recta $r$ está contenida en el plano $\pi_3$. Geométricamente, $\pi_3$ pertenece al haz de planos de arista $r$: su ecuación es $2\pi_1 - \pi_2$.

Comprobación con la paramétrica de $r$. Tomando $z = \lambda$: de $\pi_2$, $y = 1 - 2\lambda$; de $\pi_1$, $x = 1 - y - z = \lambda$. Así$$r \equiv (x, y, z) = (0, 1, 0) + \lambda\,(1, -2, 1).$$Sustituyendo en $\pi_3$: $2\lambda + (1 - 2\lambda) = 1$ para todo $\lambda$. Todos los puntos de $r$ cumplen la ecuación de $\pi_3$.