Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Derivadas y aplicaciones

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Sea la función

f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3

. Obtén sus máximos y mínimos relativos.

b) Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

b.1) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Máx. } \left(-1 - \tfrac{\sqrt{6}}{3},\ 4 + \tfrac{4\sqrt{6}}{9}\right),\ \text{mín. } \left(-1 + \tfrac{\sqrt{6}}{3},\ 4 - \tfrac{4\sqrt{6}}{9}\right)}

\boxed{\text{b.1)}\ \tfrac{1}{6} \qquad \text{b.2)}\ \tfrac{5}{6}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Los extremos relativos de un polinomio están donde se anula la derivada. Resolvemos

f'(x) = 0

y clasificamos cada punto con el signo de

f''

(o con el de

f'

a cada lado). Las raíces no son enteras, así que conviene trabajar con valores exactos.

b) Al sacar dos bolas a la vez (sin reemplazamiento) lo único que importa es qué pareja sale: hay

\binom{4}{2} = 6

parejas, todas igual de probables, así que podemos usar la regla de Laplace contando parejas. Escribimos las seis con su suma. Para b.2) es más rápido el complementario: la suma más pequeña posible es

3

Desarrollo

a) Derivamos:

f'(x) = 3x^2 + 6x + 1, \qquad f''(x) = 6x + 6.

Puntos críticos:

3x^2 + 6x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}.

Es decir,

x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -1{,}8165

x_2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \approx -0{,}1835

.

Clasificamos con la derivada segunda:

$f''(x_1) = 6\left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 6 = -2\sqrt{6} < 0$ : máximo relativo en $x_1$ .
$f''(x_2) = 6\left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\right) + 6 = 2\sqrt{6} > 0$ : mínimo relativo en $x_2$ .

Valores de la función. Escribiendo

x = -1 + s

con

s = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}

(así

s^2 = \frac{2}{3}

f(-1 + s) = (-1 + s)^3 + 3(-1 + s)^2 + (-1 + s) + 3 = s^3 - 2s + 4 = \frac{2}{3}s - 2s + 4 = 4 - \frac{4}{3}s.

Máximo ( $s = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ ): $f(x_1) = 4 + \dfrac{4\sqrt{6}}{9} \approx 5{,}0887$ .
Mínimo ( $s = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ): $f(x_2) = 4 - \dfrac{4\sqrt{6}}{9} \approx 2{,}9113$ .

(También se ve con el signo de

f'

: positiva antes de

x_1

, negativa entre

x_1

x_2

, positiva después;

f

crece, decrece y vuelve a crecer.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Las parejas posibles de dos bolas distintas, con su suma, son:

Pareja	$\{1,2\}$	$\{1,3\}$	$\{1,4\}$	$\{2,3\}$	$\{2,4\}$	$\{3,4\}$
Suma	$3$	$4$	$5$	$5$	$6$	$7$

Son

6

casos equiprobables.

b.1) Solo la pareja

\{1, 2\}

suma

3

P(\text{suma} = 3) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667.

Con un árbol (bola a bola) se llega a lo mismo:

P = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

.

b.2) La suma mínima es

3

, así que «mayor que 3» es el suceso contrario de «igual a 3»:

P(\text{suma} > 3) = 1 - P(\text{suma} = 3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333.

(En la tabla: cinco de las seis parejas suman más de

3

Consejo

En a) da los extremos como puntos (abscisa y ordenada) y justifica si son máximo o mínimo con $f''$ o con el signo de $f'$ ; dejarlo en « $x = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ » no responde a la pregunta.

En b), sin reemplazamiento no puede salir dos veces la misma bola: no cuentes $\{2, 2\}$ . Si cuentas con orden, son $4 \cdot 3 = 12$ casos y la pareja que suma 3 aparece dos veces.