Rectas y planos

a) Base: $\dfrac{5x + 1}{5x} = 1 + \dfrac{1}{5x} \to 1$; exponente: $x^2 \to +\infty$. Indeterminación $1^\infty$:$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{5x + 1}{5x}\right)^{x^2} = e^{L}, \qquad L = \lim_{x \to +\infty} x^2\left(\frac{5x + 1}{5x} - 1\right).$$Calculamos $L$:$$L = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \frac{5x + 1 - 5x}{5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{5x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{5} = +\infty.$$Por tanto$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{5x + 1}{5x}\right)^{x^2} = e^{+\infty} = +\infty.$$(Si el exponente hubiera sido $x$, el límite habría salido $e^{1/5}$: es el $x^2$ lo que lo dispara.)

b) El vector director $\vec{d}$ debe ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$; tomamos su producto vectorial:$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(2\cdot(-1) - 0\cdot 0) - \vec{j}\,(2\cdot(-1) - 0\cdot 0) + \vec{k}\,(2\cdot 0 - 2\cdot 0) = (-2, 2, 0).$$Cualquier vector proporcional sirve; simplificando, $\vec{d} = (1, -1, 0)$.

Comprobación: $(1, -1, 0)\cdot(2, 2, 0) = 2 - 2 = 0$ y $(1, -1, 0)\cdot(0, 0, -1) = 0$.

La recta que pasa por $A(2, 1, 3)$ con director $(1, -1, 0)$:$$r \equiv (x, y, z) = (2, 1, 3) + \lambda\,(1, -1, 0), \quad \lambda \in \mathbb{R} \qquad\text{es decir}\qquad \left\{\begin{array}{l} x = 2 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{array}\right.$$Como la tercera componente del director es $0$, la forma continua se escribe$$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-1}, \quad z = 3 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{l} x + y = 3 \\ z = 3 \end{array}\right.$$