Determinantes

a) Cambio de variable: $1 - 3x = t^6$ (con $t > 0$). Derivando, $-3\,dx = 6t^5\,dt$, es decir, $dx = -2t^5\,dt$. Además$$(1 - 3x)^{1/2} = (t^6)^{1/2} = t^3, \qquad (1 - 3x)^{2/3} = (t^6)^{2/3} = t^4.$$Sustituyendo:$$\int \frac{dx}{(1 - 3x)^{1/2} - (1 - 3x)^{2/3}} = \int \frac{-2t^5}{t^3 - t^4}\,dt = \int \frac{-2t^5}{t^3(1 - t)}\,dt = \int \frac{-2t^2}{1 - t}\,dt = \int \frac{2t^2}{t - 1}\,dt.$$El grado del numerador no es menor que el del denominador, así que dividimos: $2t^2 = (t - 1)(2t + 2) + 2$, luego$$\frac{2t^2}{t - 1} = 2t + 2 + \frac{2}{t - 1}.$$Integrando término a término:$$\int \left(2t + 2 + \frac{2}{t - 1}\right)dt = t^2 + 2t + 2\ln|t - 1| + C.$$Deshacemos el cambio, $t = (1 - 3x)^{1/6}$:$$\int \frac{dx}{(1 - 3x)^{1/2} - (1 - 3x)^{2/3}} = (1 - 3x)^{1/3} + 2\,(1 - 3x)^{1/6} + 2\ln\left|(1 - 3x)^{1/6} - 1\right| + C$$(válida para $x < \frac{1}{3}$, $x \neq 0$, donde el integrando está definido).

Comprobación: derivando $t^2 + 2t + 2\ln|t - 1|$ respecto de $t$ se obtiene $2t + 2 + \frac{2}{t - 1} = \frac{2t^2}{t - 1}$, y multiplicando por $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2t^5}$ se recupera $\frac{-1}{t^3(t - 1)} = \frac{1}{t^3 - t^4}$, el integrando.

b) Calculamos $|A|$ desarrollando por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo):$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - 2) = -2 \neq 0.$$Como $|A| \neq 0$, $A$ es regular y $A^{-1}$ existe, con $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|} = -\dfrac{1}{2}$.

Para $A^{-1}B$: la matriz $B$ tiene la segunda fila formada solo por ceros, así que $|B| = 0$. Por la propiedad del determinante de un producto,$$|A^{-1}\cdot B| = |A^{-1}|\cdot|B| = -\frac{1}{2}\cdot 0 = 0.$$Una matriz con determinante nulo no tiene inversa: $A^{-1}\cdot B$ no es invertible.

(Otra forma de verlo: si $A^{-1}B$ tuviera inversa $C$, entonces $B = A\,(A^{-1}B)$ sería producto de dos matrices regulares y sería regular, lo que es falso porque $|B| = 0$.)