Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

a) Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El 30 % de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el 70 % se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el 10 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el 90 % de tipo eléctrico. En el polígono Llano el 30 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.

a.1) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?

a.2) (0,75 puntos) Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?

b) El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media 1,5 minutos y desviación típica 0,15 minutos.

b.1) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de 1,35 minutos?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el 85,08 % de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\text{a.1)}\ P(M) = 0{,}24 \qquad \text{a.2)}\ P(L \mid E) = \tfrac{49}{76} \approx 0{,}6447}

\boxed{\text{b.1)}\ P(X < 1{,}35) = 0{,}1587 \qquad \text{b.2)}\ t = 1{,}656 \text{ min}}

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Estrategia

El apartado a) es el esquema clásico de dos etapas: primero el polígono (Campo o Llano) y después el tipo de reparación (mecánica o eléctrica). Un diagrama de árbol ordena los datos; la probabilidad de «mecánica» sale de la probabilidad total (sumar las dos ramas que acaban en mecánica) y la pregunta «sabiendo que fue eléctrica, ¿en qué polígono?» va al revés del árbol: es Bayes.

En b) el tiempo de vuelta es

X \sim N(1{,}5;\ 0{,}15)

. Para b.1) tipificamos y usamos la tabla (con la simetría, porque el valor

z

sale negativo). En b.2) el camino es inverso: conocemos la probabilidad,

0{,}8508

, buscamos en el interior de la tabla el

z

que le corresponde y deshacemos la tipificación.

Desarrollo

a) Sucesos:

C

= «la reparación es en el polígono Campo»,

L

= «es en el polígono Llano»,

M

= «es mecánica» y

E

= «es eléctrica». Datos:

P(C) = 0{,}3, \quad P(L) = 0{,}7, \quad P(M \mid C) = 0{,}1, \quad P(E \mid C) = 0{,}9, \quad P(M \mid L) = 0{,}3, \quad P(E \mid L) = 0{,}7.

Rama	Probabilidad
$C \cap M$	$0{,}3\cdot 0{,}1 = 0{,}03$
$C \cap E$	$0{,}3\cdot 0{,}9 = 0{,}27$
$L \cap M$	$0{,}7\cdot 0{,}3 = 0{,}21$
$L \cap E$	$0{,}7\cdot 0{,}7 = 0{,}49$

(Las cuatro ramas suman

1

.)

a.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(M) = P(C)\,P(M \mid C) + P(L)\,P(M \mid L) = 0{,}03 + 0{,}21 = 0{,}24.

a.2) Primero,

P(E) = 1 - P(M) = 0{,}76

(o bien

0{,}27 + 0{,}49 = 0{,}76

). Por el teorema de Bayes:

P(L \mid E) = \frac{P(L)\,P(E \mid L)}{P(E)} = \frac{0{,}49}{0{,}76} = \frac{49}{76} \approx 0{,}6447.

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X

= tiempo de una vuelta (en minutos),

X \sim N(1{,}5;\ 0{,}15)

, y

Z = \dfrac{X - 1{,}5}{0{,}15} \sim N(0, 1)

.

b.1) Tipificando:

P(X < 1{,}35) = P\!\left(Z < \frac{1{,}35 - 1{,}5}{0{,}15}\right) = P(Z < -1).

La tabla solo da valores positivos; por la simetría de la normal,

P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587.

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b.2) Buscamos el tiempo

t

que deja por debajo el

85{,}08\,\%

de los tiempos:

P(X < t) = 0{,}8508 \;\Longrightarrow\; P\!\left(Z < \frac{t - 1{,}5}{0{,}15}\right) = 0{,}8508.

En el interior de la tabla,

0{,}8508

aparece exactamente en la fila

1{,}0

y la columna

0{,}04

, así que

\frac{t - 1{,}5}{0{,}15} = 1{,}04 \;\Longrightarrow\; t = 1{,}5 + 1{,}04\cdot 0{,}15 = 1{,}5 + 0{,}156 = 1{,}656 \text{ minutos}.

Es decir, unos

1

minuto y

39{,}36

segundos.

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Consejo

En a.2) el denominador de Bayes es la probabilidad total de eléctrica ( $0{,}76$ ), no la condicionada $P(E \mid L) = 0{,}7$ . Escribe siempre el árbol y nombra los sucesos.

En b.1) el $z$ negativo se resuelve con la simetría, $P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1)$ . En b.2) la probabilidad se busca dentro de la tabla: «mayor que el 85,08 %» significa $P(X < t) = 0{,}8508$ .