Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

Sean el punto

A(1, 1, a)

y el plano

\pi \equiv b\cdot x + y + z = 1

, con

a, b \in \mathbb{R}

.

a) (1,5 puntos) ¿Qué deben cumplir los valores

a, b

para que el punto

A

esté contenido en el plano

\pi

y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector

\vec{u} = (1, 2, 0)

?

b) (1 punto) Con los valores de

a, b

del apartado anterior, obtén la ecuación de la recta perpendicular al plano

\pi

y que pasa por el punto

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ a = 2,\ \ b = -2 \qquad \pi \equiv -2x + y + z = 1,\ \ A(1, 1, 2)}

\boxed{\text{b)}\ r \equiv \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación:

« $A$ está en $\pi$ »: las coordenadas de $A$ cumplen la ecuación del plano.
«El vector normal de $\pi$ es perpendicular a $\vec{u}$ »: el normal se lee de la ecuación, $\vec{n} = (b, 1, 1)$ , y dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es $0$ .

Salen dos ecuaciones con dos incógnitas. En b), la recta perpendicular a un plano tiene como vector director el normal del plano, así que ya tenemos punto y dirección.

Desarrollo

a) El vector normal de

\pi \equiv bx + y + z - 1 = 0

\vec{n}_\pi = (b, 1, 1)

.

Perpendicularidad con $\vec{u}$ :

\vec{n}_\pi \cdot \vec{u} = (b, 1, 1)\cdot(1, 2, 0) = b + 2 + 0 = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2.

El punto $A(1, 1, a)$ está en $\pi$ :

b\cdot 1 + 1 + a = 1 \;\Longrightarrow\; a + b = 0 \;\Longrightarrow\; a = -b = 2.

Así que hay que tomar

a = 2

b = -2

. El plano es

\pi \equiv -2x + y + z = 1

y el punto,

A(1, 1, 2)

.

Comprobación:

-2\cdot 1 + 1 + 2 = 1

, luego

A \in \pi

; y

(-2, 1, 1)\cdot(1, 2, 0) = -2 + 2 = 0

.

b) La recta

r

perpendicular a

\pi

tiene por vector director el normal del plano,

\vec{d}_r = \vec{n}_\pi = (-2, 1, 1)

, y pasa por

A(1, 1, 2)

r \equiv (x, y, z) = (1, 1, 2) + \lambda\,(-2, 1, 1), \quad \lambda \in \mathbb{R}

En paramétricas y en forma continua:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 - 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{array}\right. \qquad\qquad \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}

(Como

A

está en

\pi

, la recta corta al plano precisamente en

A

: para

\lambda = 0

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Consejo

No confundas «el normal es perpendicular a $\vec{u}$ » con «el plano es perpendicular a $\vec{u}$ »: la condición es $\vec{n}_\pi \cdot \vec{u} = 0$ , no que $\vec{n}_\pi$ sea proporcional a $\vec{u}$ .

La recta perpendicular a un plano usa su vector normal como director: es la recta más fácil del temario, pero escribe siempre el punto y el vector antes de dar la ecuación.