Matrices

a) Calculamos el producto:$$A\cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + c & 2b \\ 4a + 2c & 4b \end{pmatrix}$$Igualando con $B$ elemento a elemento:$$\begin{pmatrix} 2a + c & 2b \\ 4a + 2c & 4b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \left\{\begin{array}{l} 2a + c = 1 \\ 2b = 0 \\ 4a + 2c = 2 \\ 4b = 0 \end{array}\right.$$La segunda y la cuarta ecuación dan $b = 0$. La tercera es la primera multiplicada por $2$, así que no aporta nada nuevo: queda una sola condición entre $a$ y $c$,$$2a + c = 1 \;\Longleftrightarrow\; c = 1 - 2a.$$Por tanto, $A\cdot X = B$ si y solo si$$b = 0 \quad\text{y}\quad c = 1 - 2a, \qquad a \in \mathbb{R} \text{ cualquiera},$$es decir, las matrices $X = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 - 2a & 0 \end{pmatrix}$. Hay infinitas soluciones, como anunciaba $|A| = 0$.

Comprobación con $a = 0$: $X = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $A X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = B$.

b) $X$ es simétrica si $X = X^t$:$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & 0 \end{pmatrix} \;\Longleftrightarrow\; b = c.$$Uniendo esto a las condiciones de a): $b = 0$, luego $c = 0$, y de $c = 1 - 2a$ sale $0 = 1 - 2a$, es decir, $a = \dfrac{1}{2}$. Se debe cumplir$$a = \frac{1}{2}, \qquad b = c = 0,$$y la matriz es única:$$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$Comprobación: $A X = \begin{pmatrix} 2\cdot\frac{1}{2} + 0 & 0 \\ 4\cdot\frac{1}{2} + 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = B$, y es simétrica.