Determinantes

a) Llamo $D$ al determinante pedido.

Paso 1. Si todos los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Saco $\frac{1}{2}$ de la primera fila y $4$ de la tercera:$$D = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ x & y & z \end{vmatrix}$$Paso 2. Si a una fila se le resta un múltiplo de otra, el determinante no cambia. Hago $F_2 \to F_2 - 2F_1$:$$(a + 2,\ b + 6,\ c + 10) - 2\,(1,\ 3,\ 5) = (a,\ b,\ c)$$$$D = 2\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2\cdot 6 = 12$$(Otra forma del paso 2: el determinante es lineal en la segunda fila, así que se descompone en la suma del determinante con $(a, b, c)$ más el determinante con $(2, 6, 10)$; este último tiene dos filas proporcionales y vale $0$.)

b) Producto escalar y módulos:$$\vec u\cdot\vec v = 1\cdot 3 + 1\cdot 2 + 1\cdot 3 = 8, \qquad |\vec u| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}, \qquad |\vec v| = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$$$$\cos\alpha = \frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|} = \frac{8}{\sqrt{3}\,\sqrt{22}} = \frac{8}{\sqrt{66}} \approx 0{,}9847$$$$\alpha = \arccos\frac{8}{\sqrt{66}} \approx 10{,}02^\circ \approx 10^\circ\,1'\,30''$$Como el producto escalar es positivo, el ángulo es agudo, como debe ser.