Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Integrales

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Resuelve la siguiente integral:

\int (x + 3)\,e^{-2x}\,dx.

b) En un juego de azar cada jugador tira un dado de seis caras. Si sale un

1

vuelve a tirar. Si sale otro resultado deja de tirar y la puntuación obtenida es el número de unos obtenidos durante las tiradas.

b.1) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?

b.2) (0,75 puntos) ¿Podrías dar la probabilidad de obtener una puntuación de

n \in \mathbb{N}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \int (x+3)\,e^{-2x}\,dx = -\frac{2x+7}{4}\,e^{-2x} + C}

\boxed{\text{b.1) } P(0) = \tfrac{5}{6},\ P(1) = \tfrac{5}{36},\ P(3) = \tfrac{5}{1296} \qquad \text{b.2) } P(n) = \tfrac{5}{6^{\,n+1}}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el integrando es un polinomio por una exponencial: el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = x + 3

) e integrando la exponencial. Así el polinomio baja de grado y queda una integral inmediata.

En b) el jugador sigue tirando mientras saque unos. Obtener una puntuación de

n

significa sacar exactamente

n

unos seguidos y luego un resultado distinto de

1

, que es el que le hace parar. Las tiradas son independientes, así que la probabilidad de esa secuencia es el producto:

\frac{1}{6}

por cada uno y

\frac{5}{6}

por la tirada final.

Desarrollo

a) Por partes, con

u = x + 3 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{-2x}\,dx \;\Rightarrow\; v = -\frac{1}{2}e^{-2x}

\int (x + 3)\,e^{-2x}\,dx = -\frac{(x + 3)}{2}\,e^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\frac{(x + 3)}{2}\,e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C

Sacando factor común:

\int (x + 3)\,e^{-2x}\,dx = -\frac{(2x + 7)}{4}\,e^{-2x} + C

Comprobación derivando:

\dfrac{d}{dx}\left[-\dfrac{2x + 7}{4}e^{-2x}\right] = -\dfrac{2}{4}e^{-2x} + \dfrac{2(2x + 7)}{4}e^{-2x} = \dfrac{-2 + 4x + 14}{4}e^{-2x} = (x + 3)\,e^{-2x}

✓.

b) Llamo

X

a la puntuación. En cada tirada

P(\text{sale } 1) = \frac{1}{6}

P(\text{no sale } 1) = \frac{5}{6}

, y las tiradas son independientes.

b.1) Ningún uno (

X = 0

): la primera tirada no es un 1 y el juego acaba.

P(X = 0) = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333

Puntuación de uno (

X = 1

): primera tirada 1, segunda distinta de 1.

P(X = 1) = \frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{5}{36} \approx 0{,}1389

Puntuación de tres (

X = 3

): tres unos seguidos y luego otro resultado.

P(X = 3) = \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot\frac{5}{6} = \frac{5}{1296} \approx 0{,}0039

b.2) Para una puntuación de

n

hacen falta

n

unos seguidos y después una tirada que no sea 1:

P(X = n) = \left(\frac{1}{6}\right)^n\cdot\frac{5}{6} = \frac{5}{6^{\,n+1}}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots

Comprobación: las probabilidades suman 1, porque es una serie geométrica de razón

\frac{1}{6}

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{6}\left(\frac{1}{6}\right)^n = \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5} = 1

Consejo

En a) el signo de $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ es la trampa: arrástralo bien al restar la nueva integral. Y no olvides la constante $C$ . Derivar el resultado es la mejor comprobación.

En b) la tirada que termina el juego también cuenta: la puntuación $n$ exige $n$ unos y un resultado distinto de 1 al final. Si solo pones $\left(\frac{1}{6}\right)^n$ , calculas "al menos $n$ unos".