Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Límites y continuidad

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Calcula el límite siguiente:

\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9}.

b) (1,5 puntos) Sean el punto

A(1, 2, 1)

y el plano

\pi \equiv x - y = 1

. Calcula la distancia del punto

A

al plano

\pi

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Resultado

\boxed{\text{a) } \lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9} = 4 \qquad \text{b) } d(A, \pi) = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \text{ u}}

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Estrategia

En a) al sustituir

x = 3

el numerador y el denominador se anulan: es una indeterminación

\frac{0}{0}

. Como son polinomios, los dos tienen el factor

(x - 3)

; lo saco factor común (o con Ruffini), simplifico y sustituyo. L'Hôpital también sirve.

En b) se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano, escribiendo antes el plano en la forma

Ax + By + Cz + D = 0

. Ojo: en el plano no aparece la

z

, así que su coeficiente es

0

Desarrollo

a) Sustituyendo: numerador

27 - 27 + 9 - 9 = 0

, denominador

9 - 9 = 0

. Indeterminación

\frac{0}{0}

.

Factorizo el numerador agrupando términos:

x^3 - 3x^2 + 3x - 9 = x^2(x - 3) + 3(x - 3) = (x - 3)(x^2 + 3)

y el denominador,

3x - 9 = 3(x - 3)

. Entonces

\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x^2 + 3)}{3(x - 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3}{3} = \frac{9 + 3}{3} = 4

Comprobación por L'Hôpital:

\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 6x + 3}{3} = \frac{27 - 18 + 3}{3} = 4

✓.

b) Escribo el plano como

\pi \equiv x - y + 0\cdot z - 1 = 0

, con vector normal

\vec n = (1, -1, 0)

. La distancia de

A(1, 2, 1)

\pi

d(A, \pi) = \frac{|1\cdot 1 - 1\cdot 2 + 0\cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \text{ u}

Comprobación con la recta perpendicular:

(x, y, z) = (1 + t,\ 2 - t,\ 1)

corta a

\pi

cuando

(1 + t) - (2 - t) = 1

, es decir,

t = 1

, en el punto

A' = (2, 1, 1)

. Y

|\overrightarrow{AA'}| = |(1, -1, 0)| = \sqrt{2}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) escribe que hay una indeterminación $\frac{0}{0}$ antes de resolverla: es lo primero que mira el corrector.

En b) pasa el plano a la forma $Ax + By + Cz + D = 0$ antes de usar la fórmula: si sustituyes $A$ en $x - y$ sin restar el $1$ , sale $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , que está mal.