Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Determinantes

También trata: Integrales

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

a) (1 punto) Encontrar el área encerrada por la recta

x = -1

y las gráficas de las funciones

f(x) = x^2 - 2x + 3

g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1

.

b) (1,5 puntos) Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a + 1 & a + 1 \end{pmatrix}

con

a \in \mathbb{R}

. Estudia el rango de

A

en función de los valores de

a

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } S = \int_{-1}^{2} \tfrac{1}{2}(x-2)^2\,dx = \tfrac{9}{2}\ \text{u}^2}

\boxed{\text{b) } |A| = (a+1)(1-a);\ \ a \neq \pm 1:\ \operatorname{rg}(A) = 3;\ \ a = 1 \text{ o } a = -1:\ \operatorname{rg}(A) = 2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el recinto está limitado por la recta vertical

x = -1

y las dos parábolas. Busco dónde se cortan las parábolas: ese punto es el otro extremo del recinto. Después veo cuál va por encima en ese tramo e integro la diferencia con la regla de Barrow.

En b) el rango de una matriz

3\times 3

se estudia con su determinante: donde no se anula, el rango es 3; en los valores que lo anulan busco un menor de orden 2 no nulo. La segunda fila tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

x^2 - 2x + 3 = \frac{1}{2}x^2 + 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^2 = 0

Las parábolas solo se tocan en

x = 2

(son tangentes ahí). Así que el recinto va de

x = -1

x = 2

.

Quién va por encima. La diferencia es

f(x) - g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 \ge 0

así que

f

va por encima de

g

en todo el intervalo (por ejemplo, en

x = 0

f(0) = 3 > g(0) = 1

).

Área.

S = \int_{-1}^{2} \frac{1}{2}(x - 2)^2\,dx = \left[\frac{(x - 2)^3}{6}\right]_{-1}^{2} = 0 - \frac{(-3)^3}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}

El área es

\dfrac{9}{2} = 4{,}5

unidades cuadradas.

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b) Desarrollo

|A|

por la segunda fila, cuyo único elemento no nulo es

a_{21} = -1

, con signo

(-1)^{2+1} = -1

|A| = (-1)\cdot(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & a \\ a + 1 & a + 1 \end{vmatrix} = (a + 1) - a\,(a + 1) = (a + 1)(1 - a)

|A| = 0 \iff a = -1

a = 1

.

Caso $a \neq -1$ y $a \neq 1$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = 3

.

Caso $a = 1$ .

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}

. El menor

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 1 = 1 \neq 0

|A| = 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = 2

. (Se ve también que las columnas 2 y 3 son iguales.)

Caso $a = -1$ .

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

. Las filas 2 y 3 son iguales y el mismo menor

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = 2

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Consejo

En a) los dos extremos del recinto no son dos cortes: uno es la recta $x = -1$ y el otro el único punto de contacto, $x = 2$ . Si integras entre los cortes de cada parábola con la recta o con el eje, el área sale mal.

En b), en cada valor crítico hay que encontrar un menor de orden 2 distinto de cero; decir solo "el determinante es cero, luego el rango es 2" no está justificado.