Rectas y planos

a) $A \in \pi$. Sustituyo $A(1, 0, 0)$ en $a x + y - z = 1$:$$a\cdot 1 + 0 - 0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1$$$\overrightarrow{AB} \perp \pi$. El vector normal del plano es $\vec n = (a, 1, -1) = (1, 1, -1)$ y$$\overrightarrow{AB} = B - A = (b - 1,\ 1,\ -1)$$$\overrightarrow{AB}$ es perpendicular al plano si es paralelo a $\vec n$, es decir, si existe $\lambda$ con $\overrightarrow{AB} = \lambda\,\vec n$:$$(b - 1,\ 1,\ -1) = \lambda\,(1,\ 1,\ -1)$$La segunda (o la tercera) coordenada da $\lambda = 1$, y la primera, $b - 1 = 1$, así que $b = 2$.

Comprobación: con estos valores $\overrightarrow{AB} = (1, 1, -1)$ coincide con $\vec n$, y $A$ cumple la ecuación del plano, $1 + 0 - 0 = 1$.

b) La recta $s$ perpendicular a $\pi \equiv x + y - z = 1$ que pasa por $A(1, 0, 0)$ tiene vector director $\vec n = (1, 1, -1)$:$$s \equiv (x, y, z) = (1, 0, 0) + t\,(1, 1, -1), \quad t \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = -t \end{array}\right.$$En forma continua:$$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$$Como $\overrightarrow{AB} = \vec n$, esta recta es justamente la que pasa por $A$ y $B(2, 1, -1)$ (con $t = 1$ se obtiene $B$).