Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

a) Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene

6

bolas rojas y

8

negras y la urna B tiene

8

bolas rojas y

10

bolas negras. Disponemos de un dado de

12

caras numeradas del

1

12

. Lanzamos el dado y si sale un número múltiplo de

4

se extrae una bola de la urna A. Si sale otro número se extrae una bola de la urna B. Calcula razonadamente:

a.1) (0,5 puntos) La probabilidad de obtener una bola roja.

a.2) (0,75 puntos) Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.

b) Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente (y no se pueda hacer la entrega) durante el reparto es del

25\,\%

. Un repartidor de esta empresa ha de entregar

6

paquetes.

b.1) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?

b.2) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 6

)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a.1) } P(R) = \tfrac{37}{84} \approx 0{,}4405 \qquad \text{a.2) } P(A \mid R) = \tfrac{9}{37} \approx 0{,}2432}

\boxed{\text{b.1) } P(X = 1) \approx 0{,}3560 \qquad \text{b.2) } 1 - 0{,}25^6 \approx 0{,}9998}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el experimento tiene dos etapas: primero el dado decide la urna y luego se saca la bola. Es el esquema del diagrama de árbol: la probabilidad de roja sale por el teorema de la probabilidad total (sumando las dos ramas que acaban en roja) y la de "venir de A sabiendo que es roja" por el teorema de Bayes.

En b) cada paquete es un ensayo independiente con dos resultados (destinatario ausente o no) y la misma probabilidad, así que el número de paquetes que no se pueden entregar sigue una binomial

B(6;\ 0{,}25)

. "No pueda entregar uno de ellos" lo entiendo como exactamente uno, y "al menos uno entregado" se calcula mejor por el complementario: que no se entregue ninguno.

Desarrollo

a) Los múltiplos de 4 entre 1 y 12 son

4, 8, 12

: tres de doce caras. Llamo

A

B

a "se extrae de la urna A / B" y

R

a "la bola es roja":

P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}, \qquad P(B) = \frac{3}{4}

P(R \mid A) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}, \qquad P(R \mid B) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}

a.1) Por el teorema de la probabilidad total:

P(R) = P(A)\,P(R \mid A) + P(B)\,P(R \mid B) = \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7} + \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{9} = \frac{3}{28} + \frac{1}{3} = \frac{9 + 28}{84} = \frac{37}{84} \approx 0{,}4405

a.2) Por el teorema de Bayes:

P(A \mid R) = \frac{P(A)\,P(R \mid A)}{P(R)} = \frac{3/28}{37/84} = \frac{3\cdot 84}{28\cdot 37} = \frac{9}{37} \approx 0{,}2432

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= número de paquetes que no se pueden entregar (destinatario ausente). Los 6 repartos son independientes y en cada uno

P(\text{ausente}) = 0{,}25

, así que

X \sim B(6;\ 0{,}25), \qquad P(X = k) = \binom{6}{k}\,0{,}25^k\,0{,}75^{6-k}

b.1) Que no pueda entregar exactamente uno:

P(X = 1) = \binom{6}{1}\,0{,}25\cdot 0{,}75^5 = 6\cdot 0{,}25\cdot 0{,}2373 \approx 0{,}3560

que es el valor de la tabla (

n = 6

k = 1

p = 0{,}25

).

b.2) Pueda entregar al menos uno significa que no estén ausentes los seis destinatarios, es decir,

X \le 5

. Por el complementario:

P(X \le 5) = 1 - P(X = 6) = 1 - 0{,}25^6 = 1 - \frac{1}{4096} = \frac{4095}{4096} \approx 0{,}9998

(en la tabla,

P(X = 6) = 0{,}0002

para

p = 0{,}25

). Equivalentemente, el número de paquetes entregados

Y = 6 - X \sim B(6;\ 0{,}75)

P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}0002 = 0{,}9998

Consejo

En a) no confundas $P(A \mid R)$ con $P(R \mid A)$ : la segunda es un dato de la urna ( $3/7$ ); la primera exige Bayes. Dibuja el árbol y escribe qué es cada número.

En b) di que es una binomial y por qué (ensayos independientes, misma $p$ ) y define bien $X$ : si cuentas los ausentes, "entregar al menos uno" es $X \le 5$ , no $X \ge 1$ .