Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados h,r∈R, de manera que el radio del semicírculo es h/2. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de longitud, que ha de ser el perímetro del aparcamiento. La empresa desea construir un aparcamiento con el mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.Rectángulo de lados h (vertical) y r (horizontal) con un semicírculo de radio h/2 pegado a su lado derechoa) (1 punto) Escribe el área del aparcamiento en función del valor h.
b) (1,5 puntos) ¿Cuánto deben valer h y r para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?
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Resultado
a) S(h)=40h−8(4+π)h2m2b) h=4+π160≈22,40 m,r=4+π80≈11,20 m(Smax≈448,08 m2)
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Estrategia
Es un problema de optimización con una ligadura. La valla recorre el borde de la región: los dos lados horizontales del rectángulo (r cada uno), el lado vertical izquierdo (h) y el arco del semicírculo, que es media circunferencia de radio h/2. El lado vertical derecho no se valla: es la frontera interior entre el rectángulo y el semicírculo (la línea discontinua de la figura).
Con el perímetro igual a 80 despejo r en función de h y lo meto en el área (rectángulo + semicírculo), que queda como una función de una sola variable: eso es el apartado a). En b) derivo, igualo a cero, compruebo que es un máximo y calculo r.
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Desarrollo
La ligadura. El arco del semicírculo de radio h/2 mide π⋅2h. El perímetro es2r+h+2πh=80⟹r=40−2h−4πh=40−4(2+π)hComo r>0, debe ser 0<h<2+π160≈31,12 m.
a) El área es la del rectángulo más la del semicírculo:S=rh+21π(2h)2=rh+8πh2Sustituyendo r:S(h)=40h−2h2−4πh2+8πh2=40h−2h2−8πh2S(h)=40h−8(4+π)h2,0<h<2+π160b) Derivo e igualo a cero:S′(h)=40−4(4+π)h=0⟹h=4+π160≈22,40 mEste valor está dentro del dominio. ComoS′′(h)=−44+π<0se trata de un máximo (además S es una parábola hacia abajo, así que es el máximo absoluto). Calculo r:r=40−42+π⋅4+π160=4+π40(4+π)−40(2+π)=4+π80≈11,20 mCuriosamente, r=2h: el largo del rectángulo coincide con el radio del semicírculo. El área máxima esSmax=40⋅4+π160−84+π⋅(4+π)21602=4+π6400−4+π3200=4+π3200≈448,08 m2Comprobación del perímetro:2⋅11,20+22,40+π⋅11,20≈22,40+22,40+35,19≈80 m ✓.
El error típico es vallar también el lado vertical derecho del rectángulo: es interior, no forma parte del perímetro. Fíjate en la línea discontinua de la figura.
Escribe siempre la ligadura, despeja una variable y di el dominio de la función. Y justifica que el punto crítico es un máximo (con S′′ o con el signo de S′): sin eso se pierde puntuación.
Paso 1 de 3
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