Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

Sea el sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{rcrcrcr} -2x & + & y & - & z & = & -1 \\ -x & + & a\cdot y & + & z & = & 2 \\ 2x & + & y & + & a\cdot z & = & 3 \end{array}\right., \quad \text{con } a \in \mathbb{R}.

a) (1,75 puntos) Discute cómo es el sistema en función de los valores del parámetro

a

.

b) (0,75 puntos) Resuelve razonadamente el sistema anterior para

a = 2

, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a \neq -1,\ \tfrac{5}{2}:\ \text{SCD};\quad a = -1 \text{ o } a = \tfrac{5}{2}:\ \text{SI}}

\boxed{\text{b) } a = 2:\ (x, y, z) = \left(0,\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{4}{3}\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la discusión clásica con Rouché-Frobenius. Escribo la matriz de coeficientes

A

y la ampliada

A^*

, calculo

|A|

en función de

a

y busco los valores que lo anulan. Fuera de ellos el rango de

A

es 3 y el sistema tiene solución única. En cada valor crítico comparo el rango de

A

con el de

A^*

, buscando un menor de orden 3 de la ampliada que no sea nulo.

En b),

a = 2

no es crítico, así que el sistema es compatible determinado y lo resuelvo por Cramer (o por Gauss), aprovechando que

|A|

ya está calculado.

Desarrollo

Matrices del sistema.

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & a & 1 & 2 \\ 2 & 1 & a & 3 \end{array}\right)

a) Desarrollo

|A|

por la primera fila:

|A| = -2\,(a^2 - 1) - 1\cdot(-a - 2) + (-1)\cdot(-1 - 2a) = -2a^2 + 2 + a + 2 + 1 + 2a = -2a^2 + 3a + 5

Lo igualo a cero:

2a^2 - 3a - 5 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \dfrac{3 \pm 7}{4}

, es decir,

a = \dfrac{5}{2}

a = -1

. Por tanto

|A| = -(2a - 5)(a + 1)

Caso $a \neq -1$ y $a \neq \frac{5}{2}$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = -1$ . El menor

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 2 + 1 = 3 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

. En la ampliada tomo las columnas 1, 2 y 4:

\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -2\,(-3 - 2) - 1\cdot(-3 - 4) + (-1)\cdot(-1 + 2) = 10 + 7 - 1 = 16 \neq 0

Luego

\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)

: sistema incompatible.

Caso $a = \frac{5}{2}$ . El menor

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & \frac{5}{2} \end{vmatrix} = -5 + 1 = -4 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

. En la ampliada, columnas 1, 2 y 4:

\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & \frac{5}{2} & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -2\left(\tfrac{15}{2} - 2\right) - 1\cdot(-3 - 4) + (-1)\cdot\left(-1 - 5\right) = -11 + 7 + 6 = 2 \neq 0

Luego

\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)

: sistema incompatible.

b) Para

a = 2

|A| = -8 + 6 + 5 = 3 \neq 0

: el sistema es compatible determinado. El sistema es

\left\{\begin{array}{l} -2x + y - z = -1 \\ -x + 2y + z = 2 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{array}\right.

Por Cramer:

x = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-1\,(4 - 1) - 1\,(4 - 3) - 1\,(2 - 6)}{3} = \frac{-3 - 1 + 4}{3} = 0

y = \frac{\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-2\,(4 - 3) + 1\,(-2 - 2) - 1\,(-3 - 4)}{3} = \frac{-2 - 4 + 7}{3} = \frac{1}{3}

z = \frac{\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}}{3} = \frac{-2\,(6 - 2) - 1\,(-3 - 4) - 1\,(-1 - 4)}{3} = \frac{-8 + 7 + 5}{3} = \frac{4}{3}

Comprobación en las tres ecuaciones:

-2\cdot 0 + \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1, \qquad 0 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2, \qquad 0 + \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al desarrollar $|A|$ con el parámetro, cuida los signos de los adjuntos: un signo mal puesto cambia las raíces y toda la discusión. Comprueba el polinomio sustituyendo un valor sencillo (con $a = 0$ debe dar $|A| = 5$ ).

En los valores críticos no basta con decir que $|A| = 0$ : hay que dar los dos rangos y concluir. Y en b) comprueba la solución en las tres ecuaciones; con fracciones es fácil fallar.