Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Como el plano buscado es perpendicular a $\pi_1$ y $\pi_2$, sus vectores directores serán los vectores normales de $\pi_1$ y $\pi_2$: $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v_2} = (1, 0, -1)$.

Encontramos la ecuación general del plano con vectores directores $\vec{v_1}$ y $\vec{v_2}$ y que pasa por el punto $P = (4, 1, 2)$, donde $X(x, y, z)$ es un punto genérico del plano:$$\begin{vmatrix} x - 4 & 1 & 1 \\ y - 1 & 1 & 0 \\ z - 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \;\to\; \boxed{x - y + z - 5 = 0}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por los vectores directores.
• 0,25 p. por indicar cómo encontrar el plano.
• 0,25 p. por el cálculo de la ecuación.

b) Buscamos la solución del sistema $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - z = -2 \end{cases}$. Despejando obtenemos:$$\begin{matrix} y = 3 - x \\ z = 2 + x \end{matrix} \;\to\; \text{Si } x = \lambda, \text{ tenemos: } \begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$La recta buscada en forma vectorial es:$$\boxed{r\colon (x, y, z) = (0, 3, 2) + \lambda \cdot (1, -1, 1),\ \lambda \in \mathbb{R}}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por formular la resolución del sistema.
• 0,5 p. por encontrar la ecuación.

c)

Encontramos la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el punto $P$. Este es el plano que nos han pedido en el apartado a: $x - y + z - 5 = 0$.

En caso de que no nos demos cuenta de que ya tenemos el plano de un apartado anterior, este plano tendrá como vector normal el vector director de la recta. Por tanto, será de la forma:$$x - y + z + D = 0.$$Imponemos que $P$ esté contenido en el plano: $4 - 1 + 2 + D = 0 \to D = -5$.

Ahora tenemos que calcular el punto de corte de la recta $L$ y el plano:$$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \text{ y } x - y + z = 5 \;\to\; \lambda - (3 - \lambda) + (2 + \lambda) = 5 \to \lambda = 2$$Sustituyendo $\lambda = 2$ en las ecuaciones paramétricas de la recta obtenemos el punto: $\boxed{Q = (2, 1, 4)}$.

De forma alternativa:

El punto $Q$ es la proyección ortogonal del punto $P$ sobre la recta $r$, ya que es el punto que está a menor distancia de $P$.

Sea $Q$ un punto genérico de la recta $r$: $Q = (\lambda, 3 - \lambda, 2 + \lambda)$ y $\vec v = (1, -1, 1)$ el vector director de $L$.

Por la condición de ortogonalidad tenemos que $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec v = 0$:$$(-4 + \lambda,\ 2 - \lambda,\ \lambda) \cdot (1, -1, 1) = 0 \to -4 + \lambda - 2 + \lambda + \lambda = 0 \to \lambda = 2$$Sustituyendo $\lambda = 2$ en el punto genérico $Q$ obtenemos las coordenadas del punto: $\boxed{Q = (2, 1, 4)}$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por indicar que el punto buscado es la proyección ortogonal.
• 0,25 p. por el punto genérico / por plantear el sistema entre el plano y la recta.
• 0,25 p. por el producto escalar / por resolver el sistema.
• 0,25 p. por encontrar el punto.