Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) El cerco tiene forma de rectángulo. Llamamos $x$ a la base del rectángulo e $y$ a la altura. Sabemos que el área del cerco es $8\ \text{m}^2$; por tanto, podemos escribir:$$x \cdot y = 8$$Despejando tenemos que $y = \frac{8}{x}$.

El coste del cerco es $C(x, y) = 2{,}5 \cdot (2y + x)$. Sustituyendo obtenemos:$$C(x) = 2{,}5 \cdot \left(2\frac{8}{x} + x\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{16 + x^2}{x}\right)$$Para calcular el coste mínimo, calcularemos los extremos relativos de la función $C(x)$, a partir de la primera derivada e igualándola a 0:$$C'(x) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x \cdot x - (16 + x^2) \cdot 1}{x^2}\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{x^2 - 16}{x^2}\right)$$$$2{,}5 \cdot \left(\frac{x^2 - 16}{x^2}\right) = 0$$$$x = \pm 4$$Por el contexto del problema, solo tiene sentido la solución positiva. Para comprobar si en $x = 4$ hay un mínimo, calculamos la segunda derivada y observamos el signo:$$C''(x) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x \cdot x^2 - (x^2 - 16) \cdot 2x}{x^4}\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x^3 - (2x^3 - 32x)}{x^4}\right) = 2{,}5 \cdot \frac{32}{x^3}.$$Como $C''(4) > 0$, en $x = 4$ hay un mínimo.

Por tanto, las dimensiones del cerco serán de $\boxed{4\ \text{m de base y } 2\ \text{m de altura}}$.

El coste será: $C(4) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{16 + 4^2}{4}\right) = \boxed{20\ \text{euros}}$

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la asignación de las variables y la ligadura de igualdad del área.
• 0,25 p. por la función coste.
• 0,25 p. por la derivada primera.
• 0,25 p. por la abscisa del punto singular.
• 0,25 p. por argumentar que se trata de un mínimo.
• 0,25 p. por las dimensiones finales.
• 0,25 p. por el coste mínimo.

Observación: a la hora de encontrar el punto singular se puede utilizar la función $C(x)$ o bien la función $f(x) = \frac{16 + x^2}{x}$.

b) Para ahorrar con la valla, podemos poner el cerco en una esquina del jardín:

En la figura: «Tancat per al gos» = cerco para el perro; «Jardí» = jardín.

Ahora podemos reproducir los cálculos hechos en el apartado a, con la nueva situación.

En este caso, el coste del cerco es $C(x, y) = 2{,}5 \cdot (y + x)$. Como $y = \frac{8}{x}$:$$C(x) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{8}{x} + x\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{8 + x^2}{x}\right)$$Calculando la primera derivada e igualándola a 0:$$C'(x) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x \cdot x - (8 + x^2) \cdot 1}{x^2}\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{x^2 - 8}{x^2}\right)$$$$2{,}5 \cdot \left(\frac{x^2 - 8}{x^2}\right) = 0$$$$x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$Análogamente, la única solución que tiene sentido es la positiva. Para comprobar si en $x = 2\sqrt{2}$ hay un mínimo, calculamos la segunda derivada y observamos que su signo es positivo:$$C''(x) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x \cdot x^2 - (x^2 - 8) \cdot 2x}{x^4}\right) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{2x^3 - (2x^3 - 16x)}{x^4}\right) = 2{,}5 \cdot \frac{16}{x^3}$$Como $C''(2\sqrt{2}) > 0$, en $\boxed{x = 2\sqrt{2}}$ hay un mínimo.

La altura del cerco será $\boxed{y = \frac{8}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}$.

Por tanto, el cerco tendrá forma cuadrada de lado $2\sqrt{2} \approx 2{,}83\ \text{m}$.

En este caso el precio mínimo será$$C(2\sqrt{2}) = 2{,}5 \cdot \left(\frac{8 + (2\sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}}\right) = 2{,}5 \cdot \frac{16}{\sqrt{8}} = 2{,}5 \cdot 2\sqrt{8} = 14{,}14\ \text{euros}$$Por tanto, tendríamos un ahorro de $20 - 14{,}14 = 5{,}86$ €.

Observación: cualquier otra argumentación correcta será considerada válida, aunque no se utilice el cálculo diferencial para llegar a la respuesta, siempre que se argumente con cálculos matemáticos.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por situar el cerco correctamente y por la función coste.
• 0,25 p. por la derivación, el punto singular y la justificación de mínimo.
• 0,25 p. por las dimensiones y el cálculo del ahorro.