Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Estudio del sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$.$$M|\overline{M} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda & 0 \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda & 3 \\ 2\lambda & 2 + \lambda & 1 & -3 \end{array}\right)$$Calculamos el determinante de la matriz del sistema y estudiamos para qué valores se anula el determinante.$$\begin{vmatrix} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 2 + \lambda & 1 \end{vmatrix} = 9\lambda^3 + 9 = 9(\lambda^3 + 1)$$Cuando resolvemos la ecuación $9(\lambda^3 + 1) = 0$, obtenemos $\lambda^3 = -1$ y de ahí $\lambda = -1$.

Por tanto, tenemos dos casos que discutir.

CASO I: $\lambda \ne -1$

Como $|M| \ne 0$, entonces $\operatorname{Rango} M = 3 = \operatorname{Rango} \overline{M} = \text{Número de incógnitas}$.

En virtud del teorema de Rouché-Frobenius, se trata de un sistema compatible determinado (SCD) y, por tanto, el sistema tiene una única solución.

CASO II: $\lambda = -1$$$M|\overline{M} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 1 & -3 \end{array}\right)$$Como $|M| = 0$, entonces $\operatorname{Rango} M < 3$, pero al tener $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 3 = 3 \ne 0$, entonces $\operatorname{Rango} M = 2$.

Por otra parte, si orlamos el menor anterior, $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 + 12 - 3 - 6 = 0$; por tanto, $\operatorname{Rango} \overline{M} = 2$.

Entonces, como $\operatorname{Rango} M = 2 = \operatorname{Rango} \overline{M} < \text{Número de incógnitas} = 3$, se trata de un sistema compatible indeterminado (SCI) con 1 (3-2) grado de libertad.

Observación: de forma alternativa, el primer determinante se podría haber calculado utilizando las propiedades de los determinantes.$$\begin{vmatrix} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 2\lambda & 2 + \lambda & 1 \end{vmatrix} \underset{(*)}{=} \begin{vmatrix} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 3 + 3\lambda & 3 + 3\lambda & 3 + 3\lambda \end{vmatrix} = (3 + 3\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$$$= 3(1 + \lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2\lambda & 2 + \lambda \\ 2 + \lambda & 1 & 2\lambda \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3(1 + \lambda)(3\lambda^2 - 3\lambda + 3) = 9(1 + \lambda)(\lambda^2 - \lambda + 1)$$$(*)$ Sumando a la tercera fila las dos primeras filas.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la expresión de las matrices del sistema.
• 0,25 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por tener el punto singular que anula el determinante.
• 0,25 p. por la discusión del caso $\lambda \ne -1$.
• 0,25 p. por la discusión del caso $\lambda = -1$.

b)

Estudiamos el caso $\lambda = -1$.

Sabemos que se trata de un SCI con un grado de libertad y el menor de orden 2 no nulo indica las ecuaciones y las incógnitas con las que nos tenemos que quedar:$$\begin{cases} x - 2y = -z \\ x + y = 3 + 2z \end{cases}$$Ahora podemos resolver aplicando el método de Cramer:$$x = \frac{\begin{vmatrix} -z & -2 \\ 3 + 2z & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{3z + 6}{3} = z + 2$$$$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -z \\ 1 & 3 + 2z \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}} = \frac{3 + 3z}{3} = z + 1$$Solución: $(\,x = z + 2,\ \ y = z + 1,\ \ z \text{ parámetro}\,)$

Interpretación geométrica: cada una de las ecuaciones es un plano en $\mathbb{R}^3$. El hecho de que la solución tenga un grado de libertad nos indica que estos tres planos se cortan en una recta, que es la formada por los puntos de la forma $(z + 2, z + 1, z)$.

Como $(z + 2, z + 1, z) = (2, 1, 0) + z(1, 1, 1)$, la recta intersección es la que pasa por el punto $(2, 1, 0)$ y tiene vector director $(1, 1, 1)$.

Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la identificación del tipo de solución.
• 0,25 p. por la resolución de las incógnitas $x$ e $y$ (o las que corresponda).
• 0,25 p. por la expresión de la solución del sistema.
• 0,25 p. por indicar que los tres planos se cortan en una recta.
• 0,25 p. por identificar la recta solución.