Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Integrando$$f(x) = \begin{cases} \displaystyle\int (x - 1)\,dx & \text{si } x < 2 \\[8pt] \displaystyle\int \frac{1}{x - 1}\,dx & \text{si } x > 2 \end{cases} \;\to\; f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 - x + k & \text{si } x < 2 \\[4pt] \ln|x - 1| + k' & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Encontramos los valores de las constantes $k$ y $k'$:

• $f(x)$ pasa por el punto $A = (0, 3)$; por tanto, $\frac{1}{2}0^2 - 0 + k = 3 \to k = 3$.
• Como $f(x)$ es derivable, entonces es continua, así que lo es en el punto de abscisa 2 y, por tanto, los límites laterales de la función $f(x)$ en 2 deben coincidir:

$$\frac{1}{2}2^2 - 2 + 3 = \ln|2 - 1| + k'$$$$k' = 3.$$Por tanto, la función $f(x)$ será$$\boxed{f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 - x + 3 & \text{si } x \le 2 \\[4pt] \ln|x - 1| + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}}$$Observación: se puntuará igual la expresión $\ln|x - 1|$ que la expresión $\ln(x - 1)$.

Pautas de corrección:

• 0,5 p. por el cálculo de las primitivas.
• 0,25 p. por el cálculo de la constante $k$.
• 0,5 p. por argumentar la continuidad de la función $f$.
• 0,25 p. por el cálculo de la constante $k'$.

b)

Aplicamos la ecuación de la recta tangente a una función $g(x)$ en el punto de abscisa $a$:$$y - g(a) = g'(a) \cdot (x - a)$$Ahora la función $f'$ es $g(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \le 2 \\ \frac{1}{x - 1} & \text{si } x > 2 \end{cases}$ y $a = 3$.

Hay que encontrar $g'(x)$, $g'(3)$ y $g(3)$:$$g'(x) = f''(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 2 \\[4pt] \dfrac{-1}{(x - 1)^2} & \text{si } x > 2 \end{cases},\qquad g'(3) = -\frac{1}{4},\qquad g(3) = \frac{1}{2}$$$$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \cdot (x - 3) \;\to\; \boxed{y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}}$$Pautas de corrección:

• 0,25 p. por la fórmula de la recta tangente.
• 0,25 p. por el cálculo de $f''(x) = g'(x)$.
• 0,25 p. por el cálculo de $g(3)$ y de $g'(3)$.
• 0,25 p. por el cálculo final de la recta tangente.