Considere las dos matrices siguientes: A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} a) (1,5 puntos) Calcule las matrices A \cdot B y B \cdot A. b) (1 punto) Sean C y D dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfacen C \cdot D = C y D \cdot C = D. Compruebe que las dos matrices, C y D, son idempotentes. Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

a) A \cdot B = A y B \cdot A = B. b) C^2 = C y D^2 = D: las dos matrices son idempotentes.

Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

Cataluña · 2023 · Junio

Enunciado

Considere las dos matrices siguientes:

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

a) (1,5 puntos) Calcule las matrices

A \cdot B

B \cdot A

.

b) (1 punto) Sean

C

D

dos matrices cuadradas del mismo orden que satisfacen

C \cdot D = C

D \cdot C = D

. Compruebe que las dos matrices,

C

D

, son idempotentes.

Nota: Una matriz cuadrada se llama idempotente si coincide con su cuadrado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A \cdot B = A

B \cdot A = B

.

b)

C^2 = C

D^2 = D

: las dos matrices son idempotentes.

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} = A

B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = B

Observación: la resolución se dará por buena aunque no aparezcan los cálculos intermedios.

Pautas de corrección:

0,75 p. por el cálculo del producto $A \cdot B$ .
0,75 p. por el cálculo del producto $B \cdot A$ .

b)

Sabemos que

(*)\ C \cdot D = C

(**)\ D \cdot C = D

C^2 = C \cdot C \underset{(*)}{=} (C \cdot D) \cdot C = C \cdot (D \cdot C) \underset{(**)}{=} C \cdot D \underset{(*)}{=} C

D^2 = D \cdot D \underset{(**)}{=} (D \cdot C) \cdot D = D \cdot (C \cdot D) \underset{(*)}{=} D \cdot C \underset{(**)}{=} D

Y, por tanto, efectivamente las dos matrices

C

D

son idempotentes.

Pautas de corrección:

0,5 p. por la comprobación de que la matriz $C$ es idempotente.
0,5 p. por la comprobación de que la matriz $D$ es idempotente.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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