Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Cataluña · 2023 · Junio

Enunciado

(2,5 puntos) Calcule los coeficientes

a

b

c

d

de la función

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

si se sabe que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

f

en el punto de inflexión

(1, 0)

y = -3x + 3

y que la función tiene un extremo relativo en el punto de la gráfica de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a = 1

b = -3

c = 0

d = 2

, es decir,

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

Si calculamos las funciones derivadas sucesivas tenemos:

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c;\qquad f''(x) = 6ax + 2b

Si vamos traduciendo en términos de

f

f'

las condiciones del enunciado obtenemos:

$f$ pasa por $(1, 0)$ $\;\to\;$ $f(1) = 0$ $\;\to\;$ $a + b + c + d = 0$ (ecuación 1)
$(1, 0)$ es un punto de inflexión $\;\to\;$ $f''(1) = 0$ $\;\to\;$ $6a + 2b = 0$ (ecuación 2)
La pendiente de la tangente en $x = 1$ es igual a $-3$ $\;\to\;$ $f'(1) = -3$ $\;\to\;$ $3a + 2b + c = -3$ (ecuación 3)
$f$ tiene un extremo en $x = 0$ $\;\to\;$ $f'(0) = 0$ $\;\to\;$ $c = 0$ (ecuación 4)