Optimización

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

A partir de la situación expuesta tenemos el gráfico siguiente:

0,25 p. Por la aplicación del teorema de Pitágoras. 0,25 p. Por la expresión final. Por el teorema de Pitágoras se obtiene que $x^2 + h^2 = 10^2$ y, por tanto, $\boxed{h = \sqrt{100 - x^2}}$

b)

0,25 p. Por la formulación del área del trapecio. 0,25 p. Por la expresión del área en función de $x$. El área del trapecio es$$A(x) = (x + 3x)/2 \cdot h = 2x \cdot \sqrt{100 - x^2}$$0,5 p. Por la derivada de la función. Para encontrar los candidatos a valores que hacen máxima esta área calcularemos la función derivada $A'(x)$ y obtendremos las soluciones de la ecuación $A'(x) = 0$.$$\begin{aligned} A'(x) &= 2 \cdot \sqrt{100 - x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{100 - x^2}}\,(-2x) \\ &= 2 \cdot \sqrt{100 - x^2} + \frac{-2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{2(100 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{200 - 4x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \\ &= \frac{4(50 - x^2)}{\sqrt{100 - x^2}} \end{aligned}$$0,25 p. Por el cálculo del punto singular. Por tanto, tendremos $A'(x) = 0$ cuando $50 - x^2 = 0$, es decir, $x^2 = 50$ y $x = \pm\sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2} \approx \pm 7{,}07$.

0,5 p. Por la evaluación de la condición de máximo relativo. A partir del contexto del enunciado, el único candidato es el valor positivo $x = \sqrt{50} = 7{,}07$ mm. Ahora hay que comprobar que con este valor el área sea máxima. Esto se comprueba viendo que para valores próximos el área es más pequeña:

$A(7) = 99{,}980$

$A(\sqrt{50}) = 2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{100 - 50} = 2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{50} = 100$

$A(7{,}1) = 99{,}9966$

0,25 p. Por el cálculo del área máxima. Por tanto, el valor de la base pequeña que hace el área máxima es $5\sqrt{2} = 7{,}07$ mm y el valor del área es $100\ \text{mm}^2$.

Observación: para la comprobación de la condición de máximo se podría también utilizar, alternativamente, la comprobación de que la derivada segunda de la función área es negativa para el valor $x = \sqrt{50}$.