Rectas y planos

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Por las expresiones de $r_1$ y $r_2$. A partir de las ecuaciones continuas del enunciado podemos escribir las rectas $r_1$ y $r_2$ en forma vectorial y paramétrica:$$r_1\colon (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(1, 1, -1) = (1 + \lambda, \lambda, -\lambda)$$$$r_2\colon (x, y, z) = (0, 0, 0) + \mu\,(1, 1, 1) = (\mu, \mu, \mu)$$0,25 p. Por el vector $\overrightarrow{A_1A_2}$. Un vector cualquiera $\overrightarrow{A_1A_2}$ formado al tomar $A_1 \in r_1$, $A_2 \in r_2$ vendrá expresado en términos de $\overrightarrow{A_1A_2} = (\mu - \lambda - 1, \mu - \lambda, \mu + \lambda)$ con $\mu, \lambda \in \mathbb{R}$.

0,5 p. Por la condición de doble perpendicularidad. La recta que pase por $A_1$ y $A_2$ cortará a $r_1$ y $r_2$ perpendicularmente si el vector $\overrightarrow{A_1A_2}$ es perpendicular a los vectores directores de cada recta, es decir, si se cumplen las condiciones siguientes:$$\overrightarrow{A_1A_2} \perp (1, 1, -1) \;\rightarrow\; (\mu - \lambda - 1, \mu - \lambda, \mu + \lambda) \cdot (1, 1, -1) = 0$$$$\overrightarrow{A_1A_2} \perp (1, 1, 1) \;\rightarrow\; (\mu - \lambda - 1, \mu - \lambda, \mu + \lambda) \cdot (1, 1, 1) = 0.$$Efectuando los dos productos escalares, las condiciones anteriores se convierten en el sistema de ecuaciones:$$\mu - 3\lambda - 1 = 0$$$$3\mu - \lambda - 1 = 0$$0,5 p. Por el cálculo de $A_1$ y $A_2$. Si a la segunda ecuación le restamos 3 veces la primera, obtenemos $8\lambda = -2$ y, por tanto, $\lambda = \dfrac{-1}{4}$, y al sustituir en la primera obtenemos $\mu = 1 + 3\lambda = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$.

Así, los puntos respectivos de cada recta son: $A_1 = \left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{-1}{4}, \dfrac{1}{4}\right)$ y $A_2 = \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right)$.

0,25 p. Por la ecuación de la recta final. La recta que une estos puntos es la perpendicular que corta a las dos rectas y tendrá vector director $\overrightarrow{A_1A_2} = \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 0\right) \approx (-1, 1, 0)$ y ecuación vectorial$$(x, y, z) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) + \alpha\,(-1, 1, 0)$$Y, por tanto, la ecuación paramétrica será$$(x, y, z) = \left(\frac{1}{4} - \alpha, \frac{1}{4} + \alpha, \frac{1}{4}\right), \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}$$b)

0,25 p. Por el planteamiento de la distancia entre las rectas. 0,5 p. Por el cálculo de la distancia. Aplicando el apartado anterior, tenemos que$$d(r_1, r_2) = d(A_1, A_2) = \left\|\overrightarrow{A_1A_2}\right\| = \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\ u.$$Observación: con independencia del apartado a), este apartado b) se puede resolver aplicando o bien la fórmula general de la distancia entre dos rectas, o bien mediante la distancia entre una recta y su proyección perpendicular sobre la otra.