Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Que la ecuación $f(x) = 2$ tenga alguna solución es equivalente a que la función $g(x) = f(x) - 2$ tenga algún cero.

0,5 p. Por explicitar que la función es continua para poder aplicar el teorema de Bolzano. La función $g(x)$ es una función continua en el intervalo $[-1, 0]$, ya que es suma de dos funciones continuas (una función polinómica —exactamente, una función lineal— y una función exponencial).

0,5 p. Por comprobar que en los extremos del intervalo la función toma signos diferentes. Por otra parte, podemos comprobar que$$g(-1) \cdot g(0) = (3 + e^{-3} - 2)(0 + e^{-1} - 2) = (1 + e^{-3})(e^{-1} - 2) < 0,$$0,25 p. Por aplicar el teorema de Bolzano y concluir la existencia de una solución. Por tanto, podemos aplicar el teorema de Bolzano y afirmar que la función tiene un cero en el intervalo $(-1, 0)$.

b)

0,25 p. Por encontrar los puntos de corte de las dos funciones. Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones:$$f(x) = h(x)$$$$-3x + e^{2x^3 - 1} = -3x^2 + e^{2x^3 - 1}$$$$-3x = -3x^2$$$$-3x + 3x^2 = 3x(x - 1) = 0$$Hay, por tanto, dos soluciones: $x = 0$ y $x = 1$.

0,25 p. Por el planteamiento de la integral. 0,25 p. Por el cálculo de la primitiva. 0,25 p. Por la aplicación de la regla de Barrow. 0,25 p. Por el cálculo final.$$A = \left|\int_0^1 \big(h(x) - f(x)\big)\,dx\right| = \left|\int_0^1 \Big(\big(-3x^2 + e^{2x^3 - 1}\big) - \big(-3x + e^{2x^3 - 1}\big)\Big)\,dx\right| =$$$$= \left|\int_0^1 \big(-3x^2 + 3x\big)\,dx\right| = \left|\left[-x^3 + \frac{3x^2}{2}\right]_0^1\right| = \frac{1}{2}\ u^2.$$Observación: también se puede comprobar que la función $h(x)$ está por encima de la función $f(x)$ en el intervalo $(0, 1)$ y calcular directamente el área con $A = \displaystyle\int_0^1 \big(h(x) - f(x)\big)\,dx$.