Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Por el planteamiento matricial y el determinante de la matriz de coeficientes.

El sistema en la forma normal es $\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ 3x + y - mz = 3 \end{cases}$. Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & 1 & -m \end{vmatrix} = (-2m^2 - 1 + 3) - (-3m - m + 2) = -2m^2 + 4m = \mathbf{2m(2 - m)}$$0,25 p. Por el cálculo de los valores singulares. $|A| = 0 \;\rightarrow\; m = 0$ y $m = 2$ son los valores que hay que tener en cuenta en la discusión.

0,75 p. Por la discusión (0,25 puntos por cada caso). Tenemos tres casos que discutir:

Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, como $\operatorname{rango}(A) = 3\ [|A| \neq 0] = \operatorname{rango}(A^*) =$ número de incógnitas, tenemos un SCD (sistema compatible determinado). Solución única.

Si $m = 0$, por Gauss obtenemos:$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{f_2 \\ f_1 \\ f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{2f_1 - f_2 \\ 3f_1 - f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \end{array}\right) \underset{f_3 - f_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$$\operatorname{rango}(A) = 2 = \operatorname{rango}(A^*) < 3 =$ número de incógnitas.

Por tanto, se trata de un SCI (sistema compatible indeterminado) con $(3 - 2 = 1)$ un grado de libertad. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Si $m = 2$, por Gauss obtenemos:$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{f_2 \\ f_1 \\ f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{2f_1 - f_2 \\ 3f_1 - f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 5 & 5 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{f_3/3 \\ 3f_3 - 5f_2}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array}\right)$$$\operatorname{rango}(A) = 2 \neq \operatorname{rango}(A^*) = 3 \Rightarrow$ SI (sistema incompatible). No hay solución.

b)

0,25 p. Por la sustitución del parámetro. 0,25 p. Por el procedimiento de resolución.

Si $m = 1$, al sustituir en el sistema obtenemos:$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{f_2 \\ f_1 \\ f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right) \underset{\substack{2f_1 - f_2 \\ 3f_1 - f_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 3 \end{array}\right) \underset{f_3 - 2f_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \end{array}\right)$$0,75 p. Por la resolución (0,25 puntos por cada variable).$$\rightarrow \begin{cases} x + y + z = 2 \\ y + 3z = 3 \\ 2z = 3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 2 \\[4pt] y + 3 \cdot \dfrac{3}{2} = 3 \\[4pt] z = \dfrac{3}{2} \end{cases} \rightarrow \boxed{\begin{cases} x = 2 \\ y = -3/2 \\ z = \dfrac{3}{2} \end{cases}}$$Observación: el apartado a) se puede resolver mediante el cálculo de rangos y el apartado b) se puede resolver también por el método de Cramer.