Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

$f(x) = 1/x \qquad f'(x) = -1/x^2$

0,25 p. Por encontrar el punto. Punto por el que pasa la recta: $(2, f(2)) = (2, 1/2)$

0,25 p. Por encontrar la pendiente. Pendiente de la recta $= f'(2) = -1/4$

0,25 p. Por encontrar la recta tangente.$$y - \frac{1}{2} = \left(\frac{-1}{4}\right) \cdot (x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$$Por tanto, la recta tangente es $y = \dfrac{-1}{4}x + 1$.

b)

$f(x) = 1/x \qquad f'(x) = -1/x^2$

0,25 p. Por encontrar el punto. Punto por el que pasa la recta: $(k, f(k)) = (k, 1/k)$

0,25 p. Por encontrar la pendiente. Pendiente de la recta $= f'(k) = -1/k^2$

0,25 p. Por encontrar la recta tangente (en función de $k$).$$y - \frac{1}{k} = \left(\frac{-1}{k^2}\right) \cdot (x - k) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2}{k} - \frac{x}{k^2}$$Por tanto, la recta tangente es $y = \dfrac{-1}{k^2}x + \dfrac{2}{k}$.

c)

0,25 p. Por encontrar el punto de corte con el eje de abscisas. Calculamos el punto de corte de la recta tangente $y = \dfrac{2}{k} - \dfrac{x}{k^2}$ con el eje de abscisas:$$\begin{cases} y = \dfrac{2}{k} - \dfrac{x}{k^2} \\[4pt] y = 0 \end{cases} \qquad \text{Corte con el eje de abscisas} = (2k, 0)$$0,25 p. Por encontrar el punto de corte con el eje de ordenadas. Punto de corte de la recta tangente $y = \dfrac{-x}{k^2} + \dfrac{2}{k}$ con el eje de ordenadas:$$\begin{cases} y = \dfrac{2}{k} - \dfrac{x}{k^2} \\[4pt] x = 0 \end{cases} \qquad \text{Corte con el eje de ordenadas} = \left(0, \frac{2}{k}\right)$$0,25 p. Por encontrar el valor del área.$$\text{Área del triángulo} = \frac{1}{2} \cdot 2k \cdot \frac{2}{k} = 2\ u^2$$0,25 p. Por expresar que el área es constante para cualquier valor del parámetro $k$. El triángulo tiene área constante igual a 2 unidades de superficie, para cualquier valor del parámetro $k$.