Matrices

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. Por plantear correctamente la comprobación. 0,25 p. Por hacer bien los cálculos.$$(A - 2I)^2 = \left[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\right]^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3I$$b)

0,25 p. Por el cálculo del cuadrado. 0,25 p. Por las operaciones matriciales. 0,25 p. Por la factorización.

$(A - 2I)^2 = 3I \;\leftrightarrow\; A^2 - 4A + 4I = 3I \;\leftrightarrow\; A^2 - 4A = -I \;\leftrightarrow\; 4A - A^2 = I$ y, sacando factor común $A$: $(4I - A) \cdot A = I$

0,25 p. Por la expresión de la matriz inversa: $A^{-1} = 4I - A$

0,25 p. Por el cálculo de la matriz inversa y ver que coincide con $B$:$$A^{-1} = 4I - A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = B$$c)

0,5 p. Por despejar correctamente y aplicar el resultado del apartado b). De $A \cdot X = B$, despejando la matriz, multiplicando por la inversa de $A$ por la izquierda:$$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot B,\ \text{como } A^{-1} = B,\quad (A^{-1} \cdot A)X = B \cdot B \;\leftrightarrow\; X = B^2$$0,25 p. Por el cálculo de la matriz $X$:$$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -12 & 7 \end{pmatrix}$$Observación: el cálculo de la matriz $X$ también se puede plantear en términos de un sistema de ecuaciones lineales. La puntuación será la misma, repartida en los diferentes pasos de la resolución.