Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

a) Los dos trozos. Triángulo de lado $x$: perímetro $3x$. Cuadrado: perímetro $240 - 3x$, lado $\ell = \dfrac{240 - 3x}{4}$. Para que existan las dos figuras, $0 < x < 80$.

Área del triángulo equilátero. Su altura es $h = \sqrt{x^2 - \left(\tfrac{x}{2}\right)^2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,x$, así que$$A_T = \frac{1}{2}\,x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,x = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2$$Área total.$$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 + \left(\frac{240 - 3x}{4}\right)^2, \qquad 0 < x < 80$$b) Derivada. El segundo sumando se deriva con la regla de la cadena:$$S'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x + 2\cdot\frac{240 - 3x}{4}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,x - \frac{3\,(240 - 3x)}{8}$$Punto crítico. Multiplicamos por 8:$$S'(x) = 0 \iff 4\sqrt{3}\,x = 720 - 9x \iff x\,(9 + 4\sqrt{3}) = 720 \iff x = \frac{720}{9 + 4\sqrt{3}}$$Racionalizando, con $(9 + 4\sqrt{3})(9 - 4\sqrt{3}) = 81 - 48 = 33$:$$x = \frac{720\,(9 - 4\sqrt{3})}{33} = \frac{240\,(9 - 4\sqrt{3})}{11} \approx 45{,}203\ \text{m}$$que está dentro de $(0, 80)$.

¿Es un mínimo? La derivada segunda es constante y positiva:$$S''(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{9}{8} > 0$$así que $S$ es convexa en todo el intervalo y el punto crítico es el mínimo absoluto. (Comparando: con todo el cable en el cuadrado, $S \to 3600\ \text{m}^2$; con todo en el triángulo, $S \to 2771{,}28\ \text{m}^2$; los dos son mayores.)

Longitud de cable del triángulo.$$3x = \frac{720\,(9 - 4\sqrt{3})}{11} \approx 135{,}609\ \text{m}$$y para el cuadrado quedan $240 - 3x = \dfrac{960\,(3\sqrt{3} - 4)}{11} \approx 104{,}391$ m, es decir, un lado $\ell = \dfrac{240\,(3\sqrt{3} - 4)}{11} \approx 26{,}098$ m.

Área mínima. De $S'(x) = 0$ sale una relación bonita: $\frac{\sqrt{3}}{2}\,x = \frac{3}{2}\,\ell$, o sea $\ell = \frac{x}{\sqrt{3}}$, y el área del cuadrado es $\ell^2 = \frac{x^2}{3}$. Entonces$$S_{\min} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 + \frac{x^2}{3} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{12}\,x^2$$Con $x^2 = \dfrac{57600\,(9 - 4\sqrt{3})^2}{121} = \dfrac{57600\,(129 - 72\sqrt{3})}{121}$ y $(129 - 72\sqrt{3})(3\sqrt{3} + 4) = 99\sqrt{3} - 132 = 33\,(3\sqrt{3} - 4)$:$$S_{\min} = \frac{4800\cdot 33\,(3\sqrt{3} - 4)}{121} = \frac{14400\,(3\sqrt{3} - 4)}{11} \approx 1565{,}87\ \text{m}^2$$Comprobación numérica. Triángulo: $\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 45{,}203^2 \approx 884{,}77$; cuadrado: $26{,}098^2 \approx 681{,}10$; suma $\approx 1565{,}87\ \text{m}^2$ ✓.