Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

a) Dominio. El denominador se anula en $x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm 2$:$$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} - \{-2, 2\}$$Corte con el eje $OY$ ($x = 0$): $f(0) = \dfrac{3}{-4} = -\dfrac{3}{4}$, punto $\left(0, -\tfrac{3}{4}\right)$.

Corte con el eje $OX$ ($f(x) = 0$): $x^2 + 3 = 0$ no tiene solución real, así que no corta al eje $OX$.

b) Asíntotas verticales. En $x = 2$ el numerador vale $7$ y el denominador tiende a $0$:$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \frac{7}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{7}{0^+} = +\infty$$y, por la simetría (o con la misma cuenta), en $x = -2$:$$\lim_{x\to -2^-} f(x) = \frac{7}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x\to -2^+} f(x) = \frac{7}{0^-} = -\infty$$Así que $x = 2$ y $x = -2$ son asíntotas verticales.

Asíntota horizontal.$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2 + 3}{x^2 - 4} = 1$$$y = 1$ es asíntota horizontal por los dos lados. Al haberla, no hay asíntota oblicua.

c) Derivada (regla del cociente):$$f'(x) = \frac{2x\,(x^2 - 4) - (x^2 + 3)\,2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 6x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-14x}{(x^2 - 4)^2}$$Signo. El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $-14x$: $f'(x) = 0 \iff x = 0$. Partimos la recta por $x = 0$ y por los puntos que no son del dominio, $x = \pm 2$:Monotonía. $f$ es creciente en $(-\infty, -2)\cup(-2, 0)$ y decreciente en $(0, 2)\cup(2, +\infty)$.

Extremos. En $x = 0$ la derivada pasa de positiva a negativa: hay un máximo relativo en $\left(0, -\tfrac{3}{4}\right)$. En $x = \pm 2$ no hay extremos porque no son del dominio. No hay extremos absolutos: la función no está acotada.

d) División. Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, dividimos:$$\frac{x^2 + 3}{x^2 - 4} = 1 + \frac{7}{x^2 - 4}$$Fracciones simples. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$:$$\frac{7}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \;\Longrightarrow\; 7 = A\,(x + 2) + B\,(x - 2)$$Con $x = 2$: $7 = 4A \Rightarrow A = \tfrac{7}{4}$. Con $x = -2$: $7 = -4B \Rightarrow B = -\tfrac{7}{4}$.

Integrar.$$\int f(x)\,dx = \int\left(1 + \frac{7/4}{x - 2} - \frac{7/4}{x + 2}\right)dx = x + \frac{7}{4}\ln|x - 2| - \frac{7}{4}\ln|x + 2| + C$$que también se puede escribir $x + \dfrac{7}{4}\ln\left|\dfrac{x - 2}{x + 2}\right| + C$.

Comprobación. Derivando: $1 + \dfrac{7}{4}\left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2}\right) = 1 + \dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{4}{x^2 - 4} = 1 + \dfrac{7}{x^2 - 4} = f(x)$ ✓.