Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

a) Ecuación general de $\pi_2$. De las paramétricas sacamos un punto y dos directores:$$Q = (-1, 1, 0), \qquad \vec v_1 = (1, 1, 1), \qquad \vec v_2 = (0, 1, -1)$$$$\vec n_2 = \vec v_1\times\vec v_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 1,\ 0 + 1,\ 1 - 0) = (-2, 1, 1)$$Tomamos el proporcional $(2, -1, -1)$: $\pi_2: 2x - y - z + D = 0$, y por $Q$: $-2 - 1 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = 3$:$$\pi_2: 2x - y - z + 3 = 0$$Comparar con $\pi_1$. Los normales son iguales, $(2, -1, -1)$, pero los términos independientes no ($4 \neq 3$):$$\frac{2}{2} = \frac{-1}{-1} = \frac{-1}{-1} \neq \frac{4}{3}$$Equivalentemente, $Q = (-1, 1, 0)$ es de $\pi_2$ y en $\pi_1$ da $-2 - 1 - 0 + 4 = 1 \neq 0$. Los planos son paralelos y distintos.

b) Recta perpendicular a $\pi_1$ por $P$. Su director es el normal $\vec n_1 = (2, -1, -1)$:$$t: (x, y, z) = (1 + 2\lambda,\ -\lambda,\ -\lambda)$$Punto medio $M$ (corte de $t$ con $\pi_1$):$$2(1 + 2\lambda) - (-\lambda) - (-\lambda) + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 6\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1$$$$M = (1 - 2,\ 1,\ 1) = (-1, 1, 1)$$Simétrico. $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, así que $P' = 2M - P$:$$P' = (2\cdot(-1) - 1,\ 2\cdot 1 - 0,\ 2\cdot 1 - 0) = (-3, 2, 2)$$Comprobación. $\overrightarrow{PP'} = (-4, 2, 2) = -2\,(2, -1, -1)$ es perpendicular a $\pi_1$ ✓, y su punto medio $(-1, 1, 1)$ cumple $-2 - 1 - 1 + 4 = 0$ ✓.

c) Paramétricas de $r$. Pasa por $(1, 0, 2)$ con director $(1, 2, -1)$:$$r: (x, y, z) = (1 + \mu,\ 2\mu,\ 2 - \mu)$$¿Se cortan? $\vec u_r\cdot\vec n_1 = 2 - 2 + 1 = 1 \neq 0$: la recta no es paralela al plano, así que lo corta en un único punto. Sustituimos:$$2(1 + \mu) - 2\mu - (2 - \mu) + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; \mu + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = -4$$$$r \cap \pi_1 = (1 - 4,\ -8,\ 2 + 4) = (-3, -8, 6)$$Comprobación. $2(-3) - (-8) - 6 + 4 = -6 + 8 - 6 + 4 = 0$ ✓.