Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Enunciado

Dadas las rectas

r: \begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3z \end{cases}

s: \begin{cases} x = 4 - 5z \\ y = 4z - 3 \end{cases}

.

a) Indicar justificadamente la posición relativa de

r

s

. (5 puntos)

b) Hallar la ecuación de la recta

l

que pasa por el origen y corta a

r

s

. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \vec u_r \nparallel \vec u_s \text{ y } \left[\vec u_r, \vec u_s, \overrightarrow{P_rP_s}\right] = -5 \neq 0:\ r \text{ y } s \text{ se cruzan}}

\boxed{\text{b) } l: \begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ 3x + 4y - z = 0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad l: (x, y, z) = t\,(-1, 1, 1)}

l

corta a

r

\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)

y a

s

(-1, 1, 1)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos rectas vienen con

x

y

despejadas en función de

z

, así que basta tomar

z

como parámetro para tener un punto y un vector director de cada una.

En a) comparamos los directores (¿son paralelas?) y, si no lo son, miramos si los tres vectores $\vec u_r$ , $\vec u_s$ y $\overrightarrow{P_rP_s}$ son coplanarios con el producto mixto: si no lo son, las rectas se cruzan.
En b) la idea clave es geométrica: la recta $l$ que pasa por $O$ y corta a $r$ está en el plano que contiene a $O$ y a $r$ ; la que corta a $s$ está en el plano de $O$ y $s$ . Así que $l$ es la intersección de esos dos planos.

Desarrollo

a) Punto y director de cada recta. Con

z = \lambda

r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \Longrightarrow P_r = (-1, 2, 0),\ \ \vec u_r = (1, -3, 1)

s: \begin{cases} x = 4 - 5\mu \\ y = -3 + 4\mu \\ z = \mu \end{cases} \Longrightarrow P_s = (4, -3, 0),\ \ \vec u_s = (-5, 4, 1)

¿Son paralelas?

\dfrac{1}{-5} \neq \dfrac{-3}{4}

: los directores no son proporcionales, así que las rectas se cortan o se cruzan.

Producto mixto. Con

\overrightarrow{P_rP_s} = (4, -3, 0) - (-1, 2, 0) = (5, -5, 0)

\left[\vec u_r, \vec u_s, \overrightarrow{P_rP_s}\right] = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -5 & 4 & 1 \\ 5 & -5 & 0 \end{vmatrix} = 1\,(0 + 5) - (-3)(0 - 5) + 1\,(25 - 20) = 5 - 15 + 5 = -5 \neq 0

Los tres vectores no son coplanarios: las rectas no están en un mismo plano y, por tanto, se cruzan.

b) Plano $\alpha$ que contiene a $O$ y a $r$ . Pasa por

O

y lo generan

\overrightarrow{OP_r} = (-1, 2, 0)

\vec u_r = (1, -3, 1)

. Su normal:

\overrightarrow{OP_r}\times\vec u_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 0,\ 0 - (-1),\ 3 - 2) = (2, 1, 1) \;\Longrightarrow\; \alpha: 2x + y + z = 0

Comprobación:

P_r = (-1, 2, 0)

-2 + 2 + 0 = 0

✓.

Plano $\beta$ que contiene a $O$ y a $s$ . Lo generan

\overrightarrow{OP_s} = (4, -3, 0)

\vec u_s = (-5, 4, 1)

\overrightarrow{OP_s}\times\vec u_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 4 & -3 & 0 \\ -5 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-3 - 0,\ 0 - 4,\ 16 - 15) = (-3, -4, 1) \;\Longrightarrow\; \beta: 3x + 4y - z = 0

Comprobación:

P_s = (4, -3, 0)

12 - 12 - 0 = 0

✓.

La recta $l$ . Es la intersección de los dos planos:

l: \begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ 3x + 4y - z = 0 \end{cases}

¿De verdad corta a las dos? Su director es

\vec u_l = (2, 1, 1)\times(3, 4, -1) = (-1 - 4,\ 3 + 2,\ 8 - 3) = (-5, 5, 5) \parallel (-1, 1, 1)

que no es paralelo ni a

\vec u_r

ni a

\vec u_s

; como

l

está en el plano de

r

y no es paralela a ella, la corta (y lo mismo con

s

). Los puntos de corte: con

l = t\,(-1, 1, 1)

en $r$ : $x = z - 1 \Rightarrow -t = t - 1 \Rightarrow t = \tfrac{1}{2}$ , y $y = 2 - 3z$ : $\tfrac{1}{2} = 2 - \tfrac{3}{2}$ ✓. Punto $\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$ .
en $s$ : $x = 4 - 5z \Rightarrow -t = 4 - 5t \Rightarrow t = 1$ , y $y = 4z - 3$ : $1 = 4 - 3$ ✓. Punto $(-1, 1, 1)$ .

En forma continua,

l: \dfrac{x}{-1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1}

Consejo

Para la posición relativa de dos rectas el orden es: primero los directores (¿paralelas?) y después el producto mixto o el rango. Que los directores no sean proporcionales no basta para decir «se cruzan»: también podrían cortarse.

El truco de b) (recta por un punto que corta a dos rectas = intersección de dos planos) sale muchas veces. Merece la pena comprobar al final que la recta obtenida no es paralela a ninguna de las dos: si lo fuera, no las cortaría.

Paso 1 de 3

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Rectas y planos

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano