Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

a) Determinante. Desarrollamos por la primera fila (tiene un cero):$$|A| = m\begin{vmatrix} m^2 & 1 \\ 2m & 1 \end{vmatrix} - 0 + (m - 1)\begin{vmatrix} -2m & m^2 \\ 0 & 2m \end{vmatrix} = m\,(m^2 - 2m) + (m - 1)(-4m^2)$$$$|A| = m^3 - 2m^2 - 4m^3 + 4m^2 = -3m^3 + 2m^2 = m^2(2 - 3m)$$Valores que anulan el determinante.$$m^2(2 - 3m) = 0 \iff m = 0 \ \text{ o } \ m = \frac{2}{3}$$Caso $m \neq 0$ y $m \neq \tfrac{2}{3}$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3$.

Caso $m = 0$.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Las dos primeras columnas son nulas y solo queda la tercera, que no es nula: todos los menores de orden 2 se anulan (cada uno tiene una columna de ceros) y hay un elemento distinto de cero. Por tanto $\operatorname{rg}(A) = 1$.

Caso $m = \tfrac{2}{3}$.$$A = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{4}{3} & \tfrac{4}{9} & 1 \\ 0 & \tfrac{4}{3} & 1 \end{pmatrix}$$El determinante es cero, pero el menor de las dos primeras filas y columnas no:$$\begin{vmatrix} \tfrac{2}{3} & 0 \\ -\tfrac{4}{3} & \tfrac{4}{9} \end{vmatrix} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9} - 0 = \frac{8}{27} \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2$$b) La matriz con $m = 2$.$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -4 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 2^2(2 - 3\cdot 2) = 4\cdot(-4) = -16 \neq 0$$Adjuntos. $A_{ij} = (-1)^{i+j}\,M_{ij}$, con $M_{ij}$ el menor que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$:$$A_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -16$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -8$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = -6, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{vmatrix} = 8$$Inversa. Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos entre $|A| = -16$:$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A)^T = -\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 0 & 4 & -4 \\ 4 & 2 & -6 \\ -16 & -8 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4} \\ -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{8} & \tfrac{3}{8} \\ 1 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$$Comprobación (primera fila de $A$ por las columnas de $A^{-1}$): $2\cdot 0 + 0 + 1\cdot 1 = 1$; $2\left(-\tfrac{1}{4}\right) + 0 + \tfrac{1}{2} = 0$; $2\cdot\tfrac{1}{4} + 0 - \tfrac{1}{2} = 0$ ✓. Las otras dos filas dan igualmente $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$.

c) Determinante de $2A$. Multiplicar una matriz $3\times 3$ por 2 multiplica por 2 cada una de sus tres filas, y cada fila saca un 2 fuera del determinante:$$|2A| = 2^3|A| = 8\,m^2(2 - 3m)$$La ecuación.$$8\,m^2(2 - 3m) = -8 \iff m^2(2 - 3m) = -1 \iff 3m^3 - 2m^2 - 1 = 0$$Ruffini. $m = 1$ es raíz: $3 - 2 - 1 = 0$. Dividiendo,$$3m^3 - 2m^2 - 1 = (m - 1)(3m^2 + m + 1)$$y $3m^2 + m + 1 = 0$ no tiene raíces reales (discriminante $1 - 12 = -11 < 0$). La única solución real es $m = 1$.

Comprobación. Con $m = 1$: $|A| = 1\cdot(2 - 3) = -1$ y $|2A| = 8\cdot(-1) = -8$ ✓.