Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

a) La traspuesta de $B$. Las filas de $B$ pasan a ser columnas:$$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$El producto $AB^T$. Cada elemento es una fila de $A$ por una columna de $B^T$ (es decir, por una fila de $B$):$$AB^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 \\ -1 + 2 - 1 & 0 + 2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$$La resta.$$C - AB^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$¿Tiene inversa? Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero:$$\left|C - AB^T\right| = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - 1\cdot 0 = 3 \neq 0$$así que $C - AB^T$ tiene inversa.

La inversa por adjuntos. Llamamos $M = C - AB^T$. Sus adjuntos son $M_{11} = -3$, $M_{12} = 0$, $M_{21} = -1$ y $M_{22} = -1$, de modo que$$\operatorname{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad M^{-1} = \frac{1}{|M|}\,\operatorname{Adj}(M)^T = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} \\ 0 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}$$Comprobación.$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} \\ 0 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \ \checkmark$$b) Despejar $X$. Pasamos el término con $X$ al primer miembro y sacamos $X$ como factor común por la derecha (en las dos matrices $X$ va detrás):$$CX - AB^TX = I \;\Longrightarrow\; \left(C - AB^T\right)X = I$$Como $C - AB^T$ tiene inversa, multiplicamos por ella por la izquierda en los dos miembros:$$X = \left(C - AB^T\right)^{-1} I = \left(C - AB^T\right)^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\tfrac{1}{3} \\ 0 & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}$$(En realidad, $(C - AB^T)X = I$ dice directamente que $X$ es la inversa de $C - AB^T$.)

c) Potencias de $2I$. Hemos visto que $AB^T = 2I$. Un número sale fuera de un producto de matrices y la identidad cumple $I\cdot I = I$, así que$$(AB^T)^n = (2I)^n = \underbrace{(2I)(2I)\cdots(2I)}_{n\ \text{factores}} = 2^n\,\underbrace{I\cdot I\cdots I}_{n} = 2^nI$$Por inducción, si se quiere formalizar. Para $n = 1$: $(AB^T)^1 = 2I = 2^1I$. Si $(AB^T)^k = 2^kI$, entonces$$(AB^T)^{k+1} = (AB^T)^k\,(AB^T) = 2^kI\cdot 2I = 2^{k+1}I$$y la igualdad vale para todo $n$ natural.