Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Enunciado

Considerar la función

f(x) = e^{-x^2}

para los valores positivos de

x

. Por cada punto

M = (x, f(x))

de la gráfica de

f

se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas,

OX

OY

. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

a) Determinar el área del rectángulo en función de

x

. (3 puntos)

b) Encontrar el punto

M

que proporciona mayor área y calcular esta área. (7 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A(x) = x\,e^{-x^2}

, para

x > 0

.

b) El área es máxima para

x = \frac{1}{\sqrt{2}}

, es decir, en

M = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \approx (0{,}707;\ 0{,}607)

, y el área máxima es

\dfrac{1}{\sqrt{2e}} \approx 0{,}429

u².

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Haz el dibujo: el rectángulo tiene un vértice en el origen

O

, otro en

(x, 0)

, otro en el punto

M = (x, e^{-x^2})

de la curva y otro en

(0, e^{-x^2})

. Su base es

x

y su altura es

f(x)

, así que el área es

A(x) = x\,e^{-x^2}

.

Para b) se maximiza

A(x)

x > 0

: se deriva, se iguala a cero y se comprueba con el signo de

A'

(o con

A''

) que el punto crítico es un máximo. Al final hay que dar dos cosas: el punto

M

y el área.

Desarrollo

a) Dimensiones del rectángulo. Para

x > 0

, el rectángulo tiene vértices

O = (0, 0)

(x, 0)

M = (x, e^{-x^2})

(0, e^{-x^2})

. La base mide

x

y la altura

f(x) = e^{-x^2} > 0

.

Área.

A(x) = x\cdot e^{-x^2}, \qquad x > 0

b) Derivada. Por la regla del producto y la de la cadena:

A'(x) = 1\cdot e^{-x^2} + x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x) = e^{-x^2}\,(1 - 2x^2)

Punto crítico. Como

e^{-x^2} > 0

siempre:

A'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 1 - 2x^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 = \frac{1}{2} \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

(la raíz negativa no sirve, porque

x > 0

).

Es un máximo. El signo de

A'

es el de

1 - 2x^2

si $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $1 - 2x^2 > 0$ : $A$ crece;
si $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $1 - 2x^2 < 0$ : $A$ decrece.

Así que en

x = \frac{1}{\sqrt{2}}

hay un máximo relativo que, al ser el único punto crítico en

(0, +\infty)

y crecer antes y decrecer después, es el máximo absoluto.

Punto $M$ .

f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}

, luego

M = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{e}}\right) \approx (0{,}707;\ 0{,}607)

Área máxima.

A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{2e}} \approx 0{,}429 \ \text{u}^2

Consejo

En optimización, el corrector reparte los puntos entre plantear la función, derivar, resolver $A'(x) = 0$ y justificar que es un máximo: no te quedes en el punto crítico. Y lee bien qué te piden: aquí son el punto $M$ (las dos coordenadas, no solo la $x$ ) y el valor del área.

Paso 1 de 3

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