Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Enunciado

a) Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida: (5 puntos)

\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx.

b) Determinar, en función de

t

, el valor

\displaystyle\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx

. (2 puntos)

c) Determinar el valor de

t

mayor que 8 para que

\displaystyle\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx

sea igual a

\ln\dfrac{25}{4}

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\displaystyle\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx = 2\ln|x - 7| - 2\ln|x + 2| + C

.

b)

\displaystyle\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx = 2\ln|t - 7| - 2\ln|t + 2| + 2\ln 10 = 2\ln\frac{10(t-7)}{t+2}

(para

t > 7

).

c)

t = 10

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el denominador de grado 2 y raíces reales: se factoriza el denominador y se descompone en fracciones simples. Cada fracción simple

\dfrac{k}{x - r}

se integra como un logaritmo.

Con la primitiva de a), b) es Barrow entre 8 y

t

, y c) es una ecuación logarítmica: se juntan los logaritmos en uno solo y se igualan los argumentos.

Desarrollo

a) Factorizar el denominador.

x^2 - 5x - 14 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \dfrac{5 \pm 9}{2}

, es decir,

x = 7

x = -2

x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)

Fracciones simples.

\frac{18}{(x-7)(x+2)} = \frac{A}{x-7} + \frac{B}{x+2} \;\Longrightarrow\; 18 = A(x+2) + B(x-7)

Dando valores a

x

$x = 7$ : $18 = 9A \Rightarrow A = 2$ .
$x = -2$ : $18 = -9B \Rightarrow B = -2$ .

Integrar.

\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx = \int \frac{2}{x-7}\,dx - \int \frac{2}{x+2}\,dx = 2\ln|x - 7| - 2\ln|x + 2| + C

que también se puede escribir

2\ln\left|\dfrac{x-7}{x+2}\right| + C

.

Comprobación. Derivando:

\dfrac{2}{x-7} - \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{2(x+2) - 2(x-7)}{(x-7)(x+2)} = \dfrac{18}{x^2 - 5x - 14}

✓.

b) Dónde tiene sentido. El integrando no está definido en

x = 7

ni en

x = -2

. Partiendo de

x = 8

, la integral es la de una función continua mientras el intervalo no llegue a

x = 7

, es decir, para

t > 7

; ahí

t - 7 > 0

t + 2 > 0

, y los valores absolutos se pueden quitar.

Regla de Barrow. Con

F(x) = 2\ln|x - 7| - 2\ln|x + 2|

\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx = F(t) - F(8) = 2\ln|t - 7| - 2\ln|t + 2| - \big(2\ln 1 - 2\ln 10\big)

\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx = 2\ln|t - 7| - 2\ln|t + 2| + 2\ln 10 = 2\ln\frac{10\,(t-7)}{t+2}

c) Ecuación. Para

t > 8

2\ln\frac{10\,(t-7)}{t+2} = \ln\frac{25}{4} \;\Longrightarrow\; \ln\frac{10\,(t-7)}{t+2} = \frac{1}{2}\ln\frac{25}{4} = \ln\frac{5}{2}

Igualar los argumentos. Como el logaritmo es inyectivo:

\frac{10\,(t-7)}{t+2} = \frac{5}{2} \;\Longrightarrow\; 20(t - 7) = 5(t + 2) \;\Longrightarrow\; 20t - 140 = 5t + 10 \;\Longrightarrow\; 15t = 150 \;\Longrightarrow\; t = 10

Comprobación.

t = 10 > 8

✓ y

2\ln\dfrac{10\cdot 3}{12} = 2\ln\dfrac{5}{2} = \ln\dfrac{25}{4}

✓.

Consejo

No olvides la constante $C$ en la indefinida ni los valores absolutos dentro de los logaritmos: son dos descuentos clásicos. En c), al pasar el 2 como exponente ( $\ln\frac{25}{4} = 2\ln\frac{5}{2}$ ) la ecuación queda de primer grado; si en vez de eso elevas al cuadrado, te saldrá una segunda solución que hay que descartar.