Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Dados los puntos

A = (2, 1, -2)

B = (3, 2, 3)

, y el plano

\pi

definido por

2x + 2y + z = 3

, obtener:

a) El punto de corte

C

entre el plano

\pi

y la recta perpendicular a

\pi

que pasa por

B

. (5 puntos)

b) El área del triángulo cuyos vértices son

A

B

C

. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) La recta es

(x, y, z) = (3, 2, 3) + \lambda(2, 2, 1)

y corta a

\pi

C = \left(\frac{7}{9}, -\frac{2}{9}, \frac{17}{9}\right)

.

b)

\text{Área} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07

u².

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta perpendicular a un plano tiene como vector director el normal del plano,

\vec n = (2, 2, 1)

. Con el punto

B

se escribe en paramétricas, se sustituye en la ecuación de

\pi

y se despeja el parámetro: ese punto

C

es la proyección ortogonal de

B

sobre

\pi

.

Para b), el área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

\text{Área} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|

Desarrollo

a) Recta perpendicular a $\pi$ por $B$ . Su director es

\vec n = (2, 2, 1)

t: (x, y, z) = (3, 2, 3) + \lambda\,(2, 2, 1) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}

Corte con $\pi$ . Sustituyendo en

2x + 2y + z = 3

2(3 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (3 + \lambda) = 3 \;\Longrightarrow\; 13 + 9\lambda = 3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\frac{10}{9}

Punto $C$ .

C = \left(3 - \frac{20}{9},\ 2 - \frac{20}{9},\ 3 - \frac{10}{9}\right) = \left(\frac{7}{9},\ -\frac{2}{9},\ \frac{17}{9}\right)

Comprobación.

2\cdot\frac{7}{9} + 2\cdot\left(-\frac{2}{9}\right) + \frac{17}{9} = \frac{14 - 4 + 17}{9} = \frac{27}{9} = 3

✓.

b) Lados del triángulo.

\overrightarrow{AB} = (3, 2, 3) - (2, 1, -2) = (1, 1, 5)

\overrightarrow{AC} = \left(\frac{7}{9} - 2,\ -\frac{2}{9} - 1,\ \frac{17}{9} + 2\right) = \left(-\frac{11}{9},\ -\frac{11}{9},\ \frac{35}{9}\right) = \frac{1}{9}(-11, -11, 35)

Producto vectorial. Sacando el factor

\frac{1}{9}

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \frac{1}{9}\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 5 \\ -11 & -11 & 35 \end{vmatrix} = \frac{1}{9}\big(35 + 55,\ -55 - 35,\ -11 + 11\big) = \frac{1}{9}(90, -90, 0) = (10, -10, 0)

Área.

\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + (-10)^2 + 0^2} = \frac{\sqrt{200}}{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50} \approx 7{,}071 \ \text{u}^2

Consejo

Comprueba siempre que el punto $C$ cumple la ecuación del plano: con fracciones de novenos es facilísimo equivocarse, y si $C$ está mal, el área de b) también. En el producto vectorial, sacar el factor común $\frac{1}{9}$ antes de desarrollar el determinante te ahorra operar con fracciones.