Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Dados los puntos

A = (2, 0, 0)

B = (0, 1, 0)

, y la recta

s: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{3} = z

:

a) Hallar la ecuación de la recta

r

que pasa por los puntos

A

B

. (2 puntos)

b) Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta

s

y es paralelo a la recta

r

. (4 puntos)

c) Calcular la distancia del punto

A

a la recta

s

. (4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r: (x, y, z) = (2, 0, 0) + \lambda(-2, 1, 0)

, o en implícitas

x + 2y = 2,\ z = 0

.

b)

x + 2y - 8z - 3 = 0

.

c)

d(A, s) = \sqrt{27/14} = \dfrac{3\sqrt{42}}{14} \approx 1{,}389

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es sacar de la ecuación continua de

s

un punto y un vector director:

P_s = (1, 1, 0)

\vec v_s = (2, 3, 1)

(la

z

va sola, así que su denominador es 1).

a) Una recta por dos puntos: punto $A$ y director $\overrightarrow{AB}$ .
b) Un plano que contiene a $s$ pasa por $P_s$ y lleva la dirección $\vec v_s$ ; si además es paralelo a $r$ , también lleva la dirección $\vec v_r$ . Su normal es el producto vectorial de los dos directores.
c) Distancia de un punto a una recta: $d(A, s) = \dfrac{|\overrightarrow{P_sA}\times\vec v_s|}{|\vec v_s|}$ (área del paralelogramo entre la base).

Desarrollo

a) Vector director.

\vec v_r = \overrightarrow{AB} = (0, 1, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 1, 0)

.

Ecuaciones de $r$ . Con el punto

A

r: \begin{cases} x = 2 - 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 0 \end{cases}\qquad \lambda \in \mathbb{R}

Eliminando

\lambda

(

\lambda = y

x = 2 - 2y

), en implícitas:

r: \begin{cases} x + 2y = 2 \\ z = 0 \end{cases}

Comprobación.

A

2 + 0 = 2

z = 0

✓;

B

0 + 2 = 2

z = 0

✓.

b) Datos del plano. Pasa por

P_s = (1, 1, 0)

y tiene como vectores directores

\vec v_s = (2, 3, 1)

\vec v_r = (-2, 1, 0)

, que no son proporcionales.

Vector normal.

\vec n = \vec v_s \times \vec v_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \big(3\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 1\cdot(-2) - 2\cdot 0,\ 2\cdot 1 - 3\cdot(-2)\big) = (-1, -2, 8)

Tomamos el opuesto,

\vec n = (1, 2, -8)

.

Plano.

x + 2y - 8z + D = 0

y, por

P_s

1 + 2 - 0 + D = 0 \Rightarrow D = -3

\pi: x + 2y - 8z - 3 = 0

Comprobación.

\vec n\cdot\vec v_s = 2 + 6 - 8 = 0

✓ y

\vec n\cdot\vec v_r = -2 + 2 + 0 = 0

✓. Además

A

no está en

\pi

(

2 - 3 \neq 0

), así que

r

es paralela al plano y no está contenida en él.

c) Vector de la recta al punto.

\overrightarrow{P_sA} = (2, 0, 0) - (1, 1, 0) = (1, -1, 0)

.

Producto vectorial.

\overrightarrow{P_sA}\times\vec v_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \big((-1)\cdot 1 - 0\cdot 3,\ 0\cdot 2 - 1\cdot 1,\ 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2\big) = (-1, -1, 5)

Módulos.

|\overrightarrow{P_sA}\times\vec v_s| = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27}

|\vec v_s| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}

.

Distancia.

d(A, s) = \frac{|\overrightarrow{P_sA}\times\vec v_s|}{|\vec v_s|} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{27}{14}} \approx 1{,}389 \ \text{u}

Consejo

Cuidado al leer la continua $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{3} = z$ : la $z$ sin denominador equivale a $\dfrac{z-0}{1}$ , así que el director es $(2, 3, 1)$ y el punto $(1, 1, 0)$ . En la distancia, escribe la fórmula antes de sustituir: el corrector puntúa el planteamiento aunque te equivoques en una cuenta.