Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

a) Condición de inversa. $A^{-1}$ es la inversa de $A$ si $A\cdot A^{-1} = I$:$$\begin{pmatrix} a+b & 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & -(a+b) + 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Ecuaciones. Igualando término a término:$$\begin{cases} a + b = 1 \\ 1 - (a+b) = 0 \\ a - b = 1 \end{cases}$$La segunda es la misma que la primera. Sumando la primera y la tercera: $2a = 2$, es decir, $a = 1$; y entonces $b = 0$.

Comprobación. Con $a = 1$, $b = 0$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ✓$$b) Potencias. Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$:$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$$$A^4 = A^3\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Cada vez que se multiplica por $A$, el elemento de arriba a la derecha aumenta en 1: $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinante de $A$. Es triangular, así que su determinante es el producto de la diagonal:$$\det A = (a+b)(a-b) - 0\cdot 1 = a^2 - b^2$$Como $a^2 - b^2 \neq 0$, $A$ es invertible y tiene sentido $A^{-50} = (A^{-1})^{50}$.

Propiedades del determinante. $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}$ y $\det(B^n) = (\det B)^n$, así que$$\det\left(A^{-50}\right) = \left(\det A^{-1}\right)^{50} = \frac{1}{(\det A)^{50}} = \frac{1}{(a^2 - b^2)^{50}}$$