Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Enunciado

Dado el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + ay + (a-1)z = a \end{cases}

a) Discutir el sistema en función del parámetro real

a

. (5 puntos)

b) Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible. (5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|M| = -(a+2)(a-1)

. Si

a \neq -2

a \neq 1

: compatible determinado. Si

a = -2

: incompatible (

\operatorname{rg} M = 2

\operatorname{rg} M^* = 3

). Si

a = 1

: compatible indeterminado (

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2

).

b) Para

a \neq -2, 1

x = \frac{1}{a+2}

y = \frac{2}{a+2}

z = \frac{a+1}{a+2}

. Para

a = 1

(x, y, z) = (1-\lambda, \lambda, \lambda)

\lambda \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el clásico sistema

3\times 3

con un parámetro. La llave es el determinante de la matriz de coeficientes: donde no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado (Rouché-Frobenius). Los valores que lo anulan hay que mirarlos uno a uno, comparando el rango de la matriz con el de la ampliada.

Para b), en el caso determinado conviene usar Cramer, porque la solución depende de

a

y Cramer la da en forma de fracciones limpias. En el caso indeterminado se escribe la solución con un parámetro

\lambda

Desarrollo

a) Matrices del sistema.

M = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & a & a-1 & a \end{array}\right)

Determinante de $M$ . Desarrollando por la primera fila:

|M| = a\,\big(0\cdot(a-1) - 1\cdot a\big) - 1\,\big(1\cdot(a-1) - 1\cdot 1\big) + 0 = -a^2 - a + 2

|M| = -(a^2 + a - 2) = -(a+2)(a-1)

Se anula para

a = -2

y para

a = 1

.

Caso $a \neq -2$ y $a \neq 1$ .

|M| \neq 0

, así que

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = -2$ .

M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -3 & -2 \end{array}\right)

El menor

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0

, luego

\operatorname{rg} M = 2

. Orlándolo con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = -2\,(0+2) - 1\,(-2-1) + 1\,(-2-0) = -4 + 3 - 2 = -3 \neq 0

Así que

\operatorname{rg} M^* = 3 \neq \operatorname{rg} M = 2

: sistema incompatible.

Caso $a = 1$ .

M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)

La tercera fila es igual que la primera (también en la columna de términos independientes), y

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0

. Por tanto

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

b) Caso compatible determinado ( $a \neq -2$ , $a \neq 1$ ): Cramer.

|M_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & a & a-1 \end{vmatrix} = 1\,(0 - a) - 1\,\big((a-1) - a\big) = -a + 1 = 1 - a

|M_y| = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a-1 \end{vmatrix} = a\,\big((a-1) - a\big) - 1\,\big((a-1) - 1\big) = -a - a + 2 = 2(1-a)

|M_z| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & a & a \end{vmatrix} = a\,(0 - a) - 1\,(a - 1) + 1\,(a - 0) = 1 - a^2 = (1-a)(1+a)

Dividiendo entre

|M| = -(a+2)(a-1) = (a+2)(1-a)

y simplificando el factor

1-a

(que no es cero en este caso):

x = \frac{1}{a+2}, \qquad y = \frac{2}{a+2}, \qquad z = \frac{a+1}{a+2}

Comprobación.

ax + y = \dfrac{a+2}{a+2} = 1

✓;

x + z = \dfrac{a+2}{a+2} = 1

✓;

x + ay + (a-1)z = \dfrac{1 + 2a + a^2 - 1}{a+2} = \dfrac{a(a+2)}{a+2} = a

✓.

Caso compatible indeterminado ( $a = 1$ ). Queda el sistema equivalente

\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 1 \end{cases}

Tomando

y = \lambda

x = 1 - \lambda

z = 1 - x = \lambda

(x, y, z) = (1 - \lambda,\ \lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Consejo

Factoriza el determinante en cuanto lo tengas: $-(a+2)(a-1)$ te da de golpe los casos y, en Cramer, te deja simplificar el factor $(1-a)$ que aparece en todos los numeradores. Y no olvides que «todas las soluciones» incluye las del caso indeterminado: el corrector espera las dos familias, la de $a \neq -2, 1$ y la de $a = 1$ .