Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,5.

a) Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.

b) Si el 30 % de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(50 < X < 68) \approx 0{,}6148

.

b) La pieza pesa unos

55{,}38

g: el 30 % de las piezas pesa más que ella.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

X

al peso:

X \sim N(52;\ 6{,}5)

. Todo pasa por tipificar,

Z = \dfrac{X - 52}{6{,}5} \sim N(0, 1)

, y usar la tabla, que da

P(Z \leq z)

para

z \geq 0

En a) es un problema directo: de los gramos a $z$ , y de $z$ a la probabilidad. El extremo negativo se resuelve por simetría.
En b) es al revés (cálculo inverso): conocemos una probabilidad y buscamos el peso. «El 30 % pesa más que ella» significa $P(X > k) = 0{,}3$ , es decir, $P(X \leq k) = 0{,}7$ .

Desarrollo

a) Tipificación.

z_1 = \frac{50 - 52}{6{,}5} \approx -0{,}31, \qquad z_2 = \frac{68 - 52}{6{,}5} \approx 2{,}46

Probabilidad.

P(50 < X < 68) = P(-0{,}31 < Z < 2{,}46) = P(Z < 2{,}46) - P(Z < -0{,}31)

Por simetría,

P(Z < -0{,}31) = 1 - P(Z < 0{,}31) = 1 - 0{,}6217 = 0{,}3783

. De la tabla,

P(Z < 2{,}46) = 0{,}9931

P(50 < X < 68) = 0{,}9931 - 0{,}3783 = 0{,}6148

b) Planteamiento. Buscamos el peso

k

tal que

P(X > k) = 0{,}3

P(X \leq k) = 0{,}7 \iff P\left(Z \leq \frac{k - 52}{6{,}5}\right) = 0{,}7

Búsqueda en la tabla. El valor

0{,}7

queda entre

0{,}6985

(

z = 0{,}52

) y

0{,}7019

(

z = 0{,}53

); el más cercano es

z = 0{,}52

.

Peso.

\frac{k - 52}{6{,}5} = 0{,}52 \iff k = 52 + 0{,}52\cdot 6{,}5 = 52 + 3{,}38 = 55{,}38\ \text{g}

(Interpolando,

z \approx 0{,}5244

k \approx 55{,}41

g: la diferencia es despreciable.)

Consejo

Cada apartado vale 1,25 puntos. En b) no busques $0{,}3$ en la tabla: la tabla da áreas a la izquierda, así que «pesa más que el 30 %» se convierte en $P(Z \leq z) = 0{,}7$ . Y como $0{,}7 > 0{,}5$ , el $z$ tiene que salir positivo y el peso por encima de la media: si te sale por debajo, has cambiado el sentido.

Paso 1 de 3

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