Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones

f(x) = e^x

g(x) = e^{-x}

y la recta horizontal

y = e

, y calcula el área de ese recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Las curvas se cortan en

(0, 1)

(1, e)

(-1, e)

. El recinto, entre

y = e

por arriba y

e^{-x}

(en

[-1, 0]

) y

e^{x}

(en

[0, 1]

) por abajo, tiene área

\text{Área} = 2\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hay que ver el recinto. Las dos exponenciales se cortan en

(0, 1)

y son simétricas respecto al eje

OY

; la recta

y = e

corta a cada una en un punto. El recinto es la región que queda entre la recta $y = e$ (arriba) y las dos curvas (abajo): una especie de triángulo curvilíneo con el vértice inferior en

(0, 1)

.

El área se parte en dos trozos, porque la curva de abajo cambia en

x = 0

: a la izquierda es

e^{-x}

y a la derecha

e^x

. Por la simetría, los dos trozos son iguales.

Desarrollo

Puntos de corte.

$e^x = e^{-x} \iff e^{2x} = 1 \iff x = 0$ : punto $(0, 1)$ .
$e^x = e \iff x = 1$ : punto $(1, e)$ .
$e^{-x} = e \iff x = -1$ : punto $(-1, e)$ .

Dibujo del recinto. Se dibuja la creciente

y = e^x

, que pasa por

(0, 1)

(1, e)

, y la decreciente

y = e^{-x}

, que pasa por

(-1, e)

(0, 1)

: son simétricas respecto al eje de ordenadas. La recta horizontal

y = e \approx 2{,}72

une

(-1, e)

con

(1, e)

. El recinto es la región encerrada entre esa recta (lado superior) y los dos arcos de exponencial que bajan desde

(-1, e)

(1, e)

hasta encontrarse en

(0, 1)

. Ocupa

x \in [-1, 1]

.

Planteamiento del área. En

[-1, 0]

el techo es

y = e

y el suelo

e^{-x}

; en

[0, 1]

, el techo es

y = e

y el suelo

e^x

\text{Área} = \int_{-1}^{0} \left(e - e^{-x}\right) dx + \int_{0}^{1} \left(e - e^{x}\right) dx

Segundo trozo (Barrow).

\int_{0}^{1} \left(e - e^{x}\right) dx = \Big[\,e\,x - e^{x}\,\Big]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1

Primer trozo.

\int_{-1}^{0} \left(e - e^{-x}\right) dx = \Big[\,e\,x + e^{-x}\,\Big]_{-1}^{0} = (0 + 1) - (-e + e) = 1

Sale lo mismo, como anunciaba la simetría.

Área total.

1 + 1 = 2

Consejo

El dibujo y los puntos de corte valen la mitad de la nota (1,25 puntos): no lo saltes. Fíjate en que la curva de abajo cambia en $x = 0$ , así que hay que partir la integral; plantear $\int_{-1}^{1}(e - e^x)\,dx$ de una vez daría un área equivocada. Y cuida el signo al integrar $e^{-x}$ : su primitiva es $-e^{-x}$ .