Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Sea

f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C

. Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

para que

f

se anule en el punto de abscisa

x = 1

y las rectas tangentes a la gráfica de

f

en los puntos de abscisa

x = -1

x = 3

sean paralelas a la recta

y = 2x + 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = -3, \qquad B = -7, \qquad C = 9 \qquad \big(f(x) = x^3 - 3x^2 - 7x + 9\big)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas y el enunciado da tres condiciones; cada una se traduce en una ecuación:

«se anula en $x = 1$ » $\Rightarrow f(1) = 0$ ;
«tangente paralela a $y = 2x + 1$ » significa misma pendiente, $2$ ; y la pendiente de la tangente es la derivada: $f'(-1) = 2$ y $f'(3) = 2$ .

Las dos condiciones sobre

f'

no llevan

C

(la constante desaparece al derivar), así que se resuelven primero y

C

sale al final.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B

.

Condiciones de las tangentes.

f'(-1) = 3 - 2A + B = 2 \iff -2A + B = -1

f'(3) = 27 + 6A + B = 2 \iff 6A + B = -25

Resolución. Restando la primera de la segunda:

8A = -24

, luego

A = -3

. Entonces

B = -1 + 2A = -1 - 6 = -7

.

Condición $f(1) = 0$ .

1 + A + B + C = 0 \iff 1 - 3 - 7 + C = 0 \iff C = 9

Comprobación.

f(x) = x^3 - 3x^2 - 7x + 9

f'(x) = 3x^2 - 6x - 7

$f(1) = 1 - 3 - 7 + 9 = 0$ ✓
$f'(-1) = 3 + 6 - 7 = 2$ ✓ y $f'(3) = 27 - 18 - 7 = 2$ ✓

Las tangentes son

y = 2x + 14

(en

x = -1

, con

f(-1) = 12

) e

y = 2x - 18

(en

x = 3

, con

f(3) = -12

): paralelas a

y = 2x + 1

y distintas de ella.

Consejo

Casi toda la nota (2 de 2,5 puntos) está en plantear bien las condiciones: «paralela» se traduce en igualdad de pendientes, $f'(a) = 2$ , no en $f(a) = 2a + 1$ (eso sería que la tangente fuese esa recta). Comprobar las tres condiciones con la función final cuesta muy poco.