Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Recta perpendicular por $P$. El normal de $\pi$ es $\vec n = (1, 1, 2)$, así que$$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = a + 2\lambda \end{cases}$$Intersección con el plano. Sustituimos en $x + y + 2z = 3$:$$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + 2(a + 2\lambda) = 3 \iff 3 + 2a + 6\lambda = 3 \iff \lambda = -\frac{a}{3}$$$$M = \left(1 - \frac{a}{3},\ 2 - \frac{a}{3},\ a - \frac{2a}{3}\right) = \left(\frac{3 - a}{3},\ \frac{6 - a}{3},\ \frac{a}{3}\right)$$Punto simétrico. $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, luego $P' = 2M - P$:$$P' = \left(\frac{6 - 2a}{3} - 1,\ \frac{12 - 2a}{3} - 2,\ \frac{2a}{3} - a\right) = \left(\frac{3 - 2a}{3},\ \frac{6 - 2a}{3},\ -\frac{a}{3}\right)$$(Equivale a usar $\lambda' = 2\lambda = -\tfrac{2a}{3}$ en la paramétrica de $s$.)

Comprobación. $P'$ debe estar a la otra parte, a la misma distancia. Sustituyendo $P$ en el primer miembro del plano: $1 + 2 + 2a - 3 = 2a$; con $P'$: $\frac{3 - 2a}{3} + \frac{6 - 2a}{3} - \frac{2a}{3} - 3 = \frac{9 - 6a}{3} - 3 = -2a$. Valores opuestos: misma distancia y lados contrarios ✓.

Por qué $a \neq 0$. Con $a = 0$, $P = (1, 2, 0)$ cumple $1 + 2 + 0 = 3$: estaría en el plano y sería su propio simétrico (la fórmula da, efectivamente, $P' = (1, 2, 0)$).