Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

a) Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = m\,\big((m-2)\cdot 2 - 0\cdot 2\big) - m\,(1\cdot 2 - 0\cdot 0) + 2\,(1\cdot 2 - (m-2)\cdot 0)$$$$|A| = 2m(m - 2) - 2m + 4 = 2m^2 - 6m + 4 = 2(m^2 - 3m + 2) = 2(m - 1)(m - 2)$$Valores sin inversa. $|A| = 0 \iff m = 1$ o $m = 2$. Para esos dos valores $A$ no tiene inversa; para cualquier otro, sí.

b) La matriz para $m = 0$.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 2(0 - 1)(0 - 2) = 4 \neq 0$$Luego existe $A^{-1}$.

Adjuntos.$$A_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$$$$A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$$$$A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 4, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$$Inversa. Trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos entre 4:$$A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}$$Comprobación. Primera fila de $A$ por las columnas de $A^{-1}$: $(0, 0, 2)\cdot(-1, -\tfrac12, \tfrac12) = 1$, $(0,0,2)\cdot(1, 0, 0) = 0$, $(0,0,2)\cdot(1, \tfrac12, 0) = 0$. Segunda fila: $(1,-2,0)$ da $-1 + 1 = 0$, $1$ y $1 - 1 = 0$. Tercera fila: $(0,2,2)$ da $-1 + 1 = 0$, $0$ y $1 + 0 = 1$. Sale la identidad ✓.